3.4 Komplexe Polynome

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[3.4 Complex polynomials|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.4 Komplexe Polynome|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[3.4 Exercises|Exercises]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.4 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
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'''Inhalt:'''
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* Factor theorem.
+
* Polynomdivision
-
* Polynomial division
+
* Fundamentalsatz der Algebra
-
* Fundamental theorem of algebra
+
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Perform polynomial division.
+
* Wie man die Polynomdivision ausführt.
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* Understand the relationship between factors and zeros of polynomials.
+
* In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
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* Know that a polynomial equation of degree ''n'' has ''n'' roots (including multiplicity).
+
* Ein Polynom mit Grad ''n'' hat ''n'' Nullstellen.
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* Know that real polynomial equations have complex conjugate roots.
+
* Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.
}}
}}
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== Polynom and equations ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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An expression of the form
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== A - Polynome ==
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{{Fristående formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
+
 
 +
Ausdrücke in der Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math> ,}}
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where <math>n</math> is an integer, is called a ''polynomial'' of degree <math>n</math> in an unknown variable <math>x</math>. The number <math>a_1</math> is called the coefficient of <math>x</math>, <math>a_2</math> the coefficient of <math>x^2</math>, etc. The constant <math>a_0</math> is called the ''constant term''.
+
wobei <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' vom Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.
-
Polynomials are essential for a large part of mathematics and have many properties which display great similarities with our integers, which means that we can do calculations with polynomials in a similar way as with integers.
+
Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
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+
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Compare the following integer written using a base 10,
+
Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10
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{{Fristående formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math> .}}
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with the polynomial in <math>x</math>
+
mit dem Polynom <math>p(x)</math>
-
{{Fristående formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
-
and then the following divisions,
+
und dann den folgenden Divisionen
-
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> as <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
+
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> da <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
-
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> since <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
+
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> da <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
</div>
</div>
-
If <math>p(x)</math> is a polynomial of degree <math>n</math> then <math>p(x)=0</math> is called a ''polynomial equation'' of degree <math>n</math>. If <math>x=a</math> is a number such that <math>p(a)=0</math> then <math>x=a</math> is called a ''root'', or solution to the equation. One also says that <math>x=a</math> is a ''zero'' of <math>p(x)</math>.
+
Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' vom Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
-
As the above example showed polynomials can be divided just like integers. Polynomial division, just like integer division is usually not exact. If, for example, <math>37</math> is divided by <math>5</math>, one gets
+
Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
-
The calculation can also be written as <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. The number 7 is called the ''quotient'' and the number 2 the ''remainder''. One says that dividing 37 by 5 gives the quotient 7 and the remainder 2.
+
Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' genannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
-
If <math>p(x)</math> and <math>q(x)</math> are polynomials one similarly can divide <math>p(x)</math> with <math>q(x)</math> and unambiguously determine polynomials <math>k(x)</math> and <math>r(x)</math> such that
+
Gleichermassen gilt, dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
-
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)} </math>}}
-
or <math>\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,</math>. One here says that polynomial division has resulted in a quotient <math>k(x)</math> and remainder <math>r(x)</math>.
+
oder <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. Man sagt hier, dass <math>k(x)</math> der Quotient ist, und <math>r(x)</math> der Rest.
 +
Falls der Rest null wird, also wenn <math>r(x)=0</math>, sagt man, dass <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilbar ist oder, dass <math>q(x)</math> ein ''Teiler'' von <math>p(x)</math> ist. Man Schreibt
-
It is obvious that a division is exact if the remainder is zero. For polynomials this is expressed as follows: If <math>r(x)=0</math> then <math>p(x)</math> is divisible by <math>q(x)</math>, or, <math>q(x)</math> is a ''divisor'' of <math>p(x)</math>. One writes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x) </math>}}
 +
oder <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
 
-
or <math>\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,</math>.
 
 +
== B - Polynomdivision ==
-
== Polynomial division ==
+
Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
-
 
+
-
If <math>p(x)</math> is a polynomial of higher degree than polynomial <math>q(x)</math> then one can divide <math>p(x)</math> by <math>q(x)</math>. For example, this may be done by gradually subtracting appropriate multiples of <math>q(x)</math> from <math>p(x)</math> until a remaining numerator is of lower degree than the denominator <math>q(x)</math>.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Perform polynomial divisionen for <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math>.
+
Berechne <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.
-
The first step is that we ''add and subtract'' an appropriate <math>x^2</math>-term in the numerator
+
Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden <math>x^2</math>-Term zum Zähler ''addieren und subtrahieren''
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
The reason why we do this is that the sub-expression <math>x^3+2x^2</math> can be written as <math>x^2(x+2)</math> and cancellation with the denominator can be done,
+
Dieser Term ist so gewählt, weil <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Then we add and subtract an appropriate <math>x</math>-term so that the leading <math>x^2</math>-term in the numerator can be cancelled,
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term im Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The last step is that we add and subtract a constant
+
Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler
-
{{Fristående formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Thus ending up with
+
und wir erhalten
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
The quotient is <math>x^2 -x + 1</math> and the remainder is <math>2</math>. Since the remainder is not zero division is not exact, that is, <math>q(x)= x+2</math> is not a ''divisor'' of <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
+
 
 +
Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Da der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> kein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
 +
 
 +
Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:
 +
 
 +
<math>\phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}</math>
 +
 
 +
<math>\underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}</math>
 +
 
 +
<math> \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2</math>
</div>
</div>
-
==The connection between factors and zeros ==
+
== C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==
-
If <math>q(x)</math> is a divisor of <math>p(x)</math> then <math>p(x)=k(x)\cdot q(x)</math>. We have thus ''factorised'' <math>p(x)</math> . One says that <math>q(x)</math> is a factor of <math>p(x)</math>. Especially, if a polynomial of first degree <math>(x-a)</math> is a divisor of <math>p(x)</math> then <math>(x-a)</math> is a factor of <math>p(x)</math> , i.e.
+
Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders
 +
wenn ein Polynom <math>(x-a)</math> mit dem Grad 1 ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, dann ist <math>(x-a)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also
-
{{Fristående formel||<math>p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
-
Since <math>\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ </math> this means that <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math>. This is exactly the content of the so-called ''factor theorem''.
+
Da <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math>, bedeutet dies, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Factor theorem:'''
+
<math>(x-a)</math> ist ein Teiler vom Polynom <math>p(x)</math> genau dann, wenn <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
-
 
+
-
<math>(x-a)</math> is a divisor of a polynomial <math>p(x)</math> if and only if <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math>.
+
</div>
</div>
-
Please note that the theorem applies in both directions, i.e. if we know that <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math> we automatically would know that <math>p(x)</math> is divisible by <math>(x-a)</math>.
+
Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist, wissen wir also auch, dass <math>p(x)</math> durch <math>(x-a)</math> teilbar ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
The polynomial <math>p(x) = x^2-6x+8</math> can be factorised as
+
Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann so
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
+
in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen <math>x=2</math> und <math>x=4</math> (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math> lösen.
-
 
+
-
and has therefore zeros at <math>x=2</math> and <math>x=4</math> (and no others). It is precisely these that are obtained if one solves the equation <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math>.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Factorise the polynomial <math>\ x^2-3x-10\,</math>.
+
<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
By determining the polynomial zeros one automatically gets its factors according to the factor theorem. The quadratic equation <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> has the solutions
+
Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> hat die Lösungen
-
{{Fristående formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
-
i.e. <math>x=-2</math> and <math>x=5</math>. This means that <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
+
also <math>x=-2</math> und <math>x=5</math>. Daher ist <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
</li>
</li>
-
<li> Factorise the polynomial <math>\ x^2+6x+9\,</math>.
+
<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
This polynomial has a repeated root
+
Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
-
{{Fristående formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
-
and thus <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
+
und daher ist <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
</li>
</li>
-
<li>Factorise the polynomial <math>\ x^2 -4x+5\,</math>.
+
<li>Zerlege das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
In this case, the polynomial has two complex roots
+
Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
-
{{Fristående formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
-
and when factorised will be <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
+
und die Faktoren sind daher<math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
</li>
</li>
Zeile 183: Zeile 197:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Determine a cubic polynomial having zeros, <math>1</math>, <math>-1</math> and <math>3</math>.
+
Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The polynomial according to the factor theorem, must have factors <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> and <math>(x-3)</math>. Multiplying these factors, we get a cubic polynomial
+
Das Polynom hat die Faktoren <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> und <math>(x-3)</math>. Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom
-
{{Fristående formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Fundamental theorem of algebra ==
+
== D - Fundamentalsatz der Algebra ==
-
We introduced at the beginning of this chapter, the complex numbers to enable us to solve the quadratic equation <math>x^2=-1</math> and we can now ask ourselves the slightly more theoretical question, whether this is sufficient, or do we need to invent more types of numbers in order to solve other complicated polynomials? The answer to that question is that we need not as the complex numbers are enough. The German mathematician Carl Friedrich Gauss proved in the year 1799 the ''fundamental theorem of algebra'' which says the following:
+
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Every polynomial of degree <math>n\ge1</math> with complex coefficients has at least one zero which is a complex number.
+
'''Fundamentalsatz der Algebra'''
 +
 
 +
Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
</div>
</div>
-
As every zero according to the the factor theorem is matched by a factor, we can now also state the following theorem:
+
Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Every polynomial of degree <math>n\ge1</math> has exactly <math>n</math> zeros if each zero is counted up to its multiplicity.
+
Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
</div>
</div>
-
(By multiplicity is meant that a double zero is counted twice, a triple zero 3 times, etc.)
+
(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)
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Note that these theorems only say that there ''exists'' complex roots of a polynomial, but not ''how'' to determine them. In general, there is no simple method to write a formula for the roots, and for polynomials of higher degree, we must use various devices to obtain a solution. If we restrict ourselves to polynomial with real coefficients, one of the devices that can help us is the knowledge that the complex roots of such polynomials always come in complex conjugate pairs.
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Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
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''' Example 6'''
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''' Beispiel 6'''
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Show that the polynomial <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> has zeros <math>x=i</math> and <math>x = 2-i</math>. Thus determine the other zeros.
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Zeige, dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. Bestimme damit alle Nullstellen.
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We have
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Gegeben ist
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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In order to calculate the last term, we need to determine
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Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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This gives that
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Dies ergibt
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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which proves that <math>i</math> and <math>2-i</math> are zeros of this polynomial.
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und daher sind <math>i</math> und <math>2-i</math> Nullstellen des Polynoms.
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Since the polynomial has real coefficients, we can immediately say that the other two zeros are the complex conjugates of the first two zeros, i.e. the other two roots are <math>z=-i</math> and <math>z=2+i</math>.
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Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also <math>z=-i</math> und <math>z=2+i</math>.
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One consequence of the fundamental theorem of algebra (and the factor theorem) is that all polynomials can be factored into a product of complex first order factors. This also applies to polynomials with real coefficients, but for such polynomials it is possible to multiply together the pair of factors belonging to complex conjugate roots. In this case the factorisation will consist of first and second order real factors.
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Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.
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''' Example 7'''
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''' Beispiel 7'''
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Zeige, dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome und zerlegen sie dann <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.
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Show that <math>x=1</math> is a zero of <math>p(x)= x^3+x^2-2</math>. Then first factorise <math>p(x)</math> into polynomials having real coefficients and then factorise <math>p(x)</math> completely into first order factors.
 
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Da <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math>, ist <math>x=1</math> eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher <math>x-1</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also ist <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math> teilbar. Wir teilen daher <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math>
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We have that <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math> which shows that <math>x=1</math> is a zero of the polynomial. According to the factor theorem, this means that <math>x-1</math> is a factor of <math>p(x)</math>, i.e. <math>p(x)</math> is divisible by <math>x-1</math>. We therefore divide the polynomial with <math>x-1</math> to get the remaining factors after <math>x-1</math> is factored out of the polynomial
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Also ist <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>. Das ist die Antwort auf die erste Frage.
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So we have <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math> which is the first part of the problem.
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It now remains to factorise <math>x^2+2x+2</math>. The equation <math>x^2+2x+2=0</math> has the solutions
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Jetzt müssen wir nur noch <math>x^2+2x+2</math> in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung <math>x^2+2x+2=0</math> hat die Lösungen
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{{Fristående formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
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and therefore the polynomial has the following factorization into complex first order factors.
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und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Polynomdivision
  • Fundamentalsatz der Algebra

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man die Polynomdivision ausführt.
  • In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
  • Ein Polynom mit Grad n hat n Nullstellen.
  • Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Polynome

Ausdrücke in der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0 ,

wobei \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome vom Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.


Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.


Beispiel 1

Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10

\displaystyle 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 .

mit dem Polynom \displaystyle p(x)

\displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3

und dann den folgenden Divisionen

  • \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad da \displaystyle \ 1353= 123\cdot 11\,,
  • \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad da \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.

Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom vom Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung vom Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Man kann auch schreiben, dass \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient genannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.


Gleichermassen gilt, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}

oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier, dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0, sagt man, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist oder, dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Man Schreibt

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)

oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.


B - Polynomdivision

Wenn \displaystyle p(x) einen Grad hat, der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..


Beispiel 2


Berechne \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\, durch Polynomdivision.


Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden \displaystyle x^2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Dieser Term ist so gewählt, weil \displaystyle x^3+2x^2als \displaystyle x^2(x+2) geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor \displaystyle (x+2) kürzen können.

\displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden \displaystyle x-Term im Zähler, sodass wir den \displaystyle x^2-Term beseitigen

\displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler

\displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

und wir erhalten

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}


Der Quotient ist also \displaystyle x^2 -x + 1 und der Rest ist \displaystyle 2. Da der Rest nicht null ist, ist \displaystyle q(x)= x+2 kein Teiler von \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.

Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:

\displaystyle \phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}

\displaystyle \underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x

\displaystyle \phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2


C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt, dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x), also

\displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}

Da \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ , bedeutet dies, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann, wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.


Beispiel 3


Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann so

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.

Beispiel 4


  1. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.

    Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    also \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    und die Faktoren sind daher\displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Beispiel 5


Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.

Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


D - Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den Fundamentalsatz der Algebra:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.

(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)


Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.


Beispiel 6


Zeige, dass das Polynom \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 die Nullstellen \displaystyle x=i und \displaystyle x = 2-i hat. Bestimme damit alle Nullstellen.


Gegeben ist

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

Dies ergibt

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

und daher sind \displaystyle i und \displaystyle 2-i Nullstellen des Polynoms.


Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also \displaystyle z=-i und \displaystyle z=2+i.

Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.


Beispiel 7

Zeige, dass \displaystyle x=1 eine Nullstelle von \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2 ist. Zerlegen Sie danach \displaystyle p(x) in reelle Polynome und zerlegen sie dann \displaystyle p(x) in lineare Faktoren.


Da \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ , ist \displaystyle x=1 eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher \displaystyle x-1 ein Faktor von \displaystyle p(x), also ist \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1 teilbar. Wir teilen daher \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

Also ist \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,. Das ist die Antwort auf die erste Frage.


Jetzt müssen wir nur noch \displaystyle x^2+2x+2 in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung \displaystyle x^2+2x+2=0 hat die Lösungen

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}



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