Lösung 3.3:5d

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Zuerst dividieren wir beide Seiten durch <math>4+i</math>, sodass der Koeffizient von <math>z^2</math> dann 1 ist.
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}</math>}}
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Die beiden komplexen Brüche sind
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\frac{1-21i}{4+i}
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= \frac{4-i-84i+21i^2}{4^2-i^2}\\[5pt]
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\frac{17}{4+i}
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&= \frac{17(4-i)}{(4+i)(4-i)}
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Die Gleichung ist daher
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Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
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\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt]
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\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt]
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\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt]
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\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Lassen wir <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math> sein, erhalten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math> ,}}
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die wir lösen, indem wir annehmen, dass <math>w=x+iy</math>
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oder, falls wir die linke Seite erweitern,
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
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Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir
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x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
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2xy &= \frac{3}{2}\,.
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\end{align}</math>}}
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Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung
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Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.
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Wir erhalten die Gleichungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
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2xy &= \frac{3}{2}\,,\\[5pt]
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x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.}
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\end{align} \right.</math>}}
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Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht <math>x</math> und <math>y</math> lösen.
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Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten
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{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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||
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|align="right"|<math>x^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>2x^2</math>
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||
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>\tfrac{1}{2}</math>
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|}
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und wir erhalten <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.
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Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten
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{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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||
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|align="right"|<math>x^2</math>
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||<math>{}+{}</math>
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|align="right"|<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>\tfrac{5}{2}</math>
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|-
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|align="left"|<math>-\ \ </math>
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|align="right"|<math>\bigl(x^2</math>
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||<math>{}-{}</math>
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|align="right"|<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>-2\rlap{\bigr)}</math>
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|colspan="6"|<hr>
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||
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||
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||
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|align="right"|<math>2y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> ,
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also <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
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Dies ergibt vier mögliche Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= \tfrac{3}{2}
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\end{align}\right.
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\qquad
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\left\{\begin{align}
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x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= -\tfrac{3}{2}
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\end{align}\right.
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\qquad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= \tfrac{3}{2}
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\end{align}\right.
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\qquad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= -\tfrac{3}{2}
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\end{align} \right.</math>,}}
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von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= \tfrac{3}{2}
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\end{align}\right.
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\qquad\text{und}\qquad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
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y &= -\tfrac{3}{2}
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\end{align}\right.</math>.}}
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Also erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> und <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i</math>}}
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und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> und <math>\qquad z=i</math>}}
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durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
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Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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<math>\begin{align}
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z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z
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&= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt]
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&= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt]
 +
&= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt]
 +
&= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt]
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&= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt]
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&= 17\,,\\[10pt]
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z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z
 +
&= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt]
 +
&= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt]
 +
&= -4-i+i+21\\[5pt]
 +
&= 17\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 4+i, sodass der Koeffizient von \displaystyle z^2 dann 1 ist.

\displaystyle z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}

Die beiden komplexen Brüche sind

\displaystyle \begin{align}

\frac{1-21i}{4+i} &= \frac{(1-21i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{4-i-84i+21i^2}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{-17-85i}{16+1} = \frac{-17-85i}{17} = -1-5i\,,\\[10pt] \frac{17}{4+i} &= \frac{17(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{17(4-i)}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{17(4-i)}{17} = 4-i\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} \end{align}

Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2} sein, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i ,

die wir lösen, indem wir annehmen, dass \displaystyle w=x+iy

\displaystyle (x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i

oder, falls wir die linke Seite erweitern,

\displaystyle x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,. \end{align}

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht \displaystyle x und \displaystyle y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle -2
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{1}{2}

und wir erhalten \displaystyle x=\pm \tfrac{1}{2}.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle -2\rlap{\bigr)}
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{9}{2} ,

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.,

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right..

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}

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