Lösung 3.3:5a

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Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.
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Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir
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Wir erhalten die Wurzeln
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Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung
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z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1
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&= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt]
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&= -1-2i+2+2i-1\\[5pt]
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&= 0\,\textrm{.}
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\end{align}</math>

Aktuelle Version

Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.

Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\\[5pt] (z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\\[5pt] (z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\\[5pt] (z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}

&2+i\,,\\ &i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung

\displaystyle \begin{align} z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= (2+i)^2 - 2(1+i)(2+i)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i+i^2-2(2+i+2i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i-1-4-6i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{2+i:}{}\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt] &= -1-2(i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= -1-2i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

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