Lösung 1.2:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The expression is a quotient of two polynomials,
+
Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler <math>x^2+1</math> und dem Nenner <math>x+1</math>, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.
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<math>x^{2}+1</math>
+
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and
+
-
<math>x+1</math>, and we therefore use the quotient rule for differentiation:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}\Bigr)'
 +
&= \frac{(x^2+1)'\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben.
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& \left( \frac{x^{2}+1}{x+1} \right)^{\prime }=\frac{\left( x^{2}+1 \right)^{\prime }\centerdot \left( x+1 \right)-\left( x^{2}+1 \right)\centerdot \left( x+1 \right)^{\prime }}{\left( x+1 \right)^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{2x\centerdot \left( x+1 \right)-\left( x^{2}+1 \right)\centerdot 1}{\left( x+1 \right)^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{2x^{2}+2x-x^{2}-1}{\left( x+1 \right)^{2}}=\frac{x^{2}+2x-1}{\left( x+1 \right)^{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2</math>}}
-
NOTE: it is possible to rewrite the numerator by completing the square,
+
Dadurch erhalten wir
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x^{2}+2x-1=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}-1=\left( x+1 \right)^{2}-2</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and then the answer can be written as
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\frac{x^{2}+2x-1}{\left( x+1 \right)^{2}}=\frac{\left( x+1 \right)^{2}-2}{\left( x+1 \right)^{2}}=1-\frac{2}{\left( x+1 \right)^{2}}</math>
+

Aktuelle Version

Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler \displaystyle x^2+1 und dem Nenner \displaystyle x+1, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}\Bigr)' &= \frac{(x^2+1)'\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{} \end{align}

Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben.

\displaystyle x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2

Dadurch erhalten wir

\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}
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