Lösung 1.2:1c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:1_2_1c.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) |
|||
| (Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | {{ | + | Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler <math>x^2+1</math> und dem Nenner <math>x+1</math>, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten. |
| - | + | ||
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
| + | \Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}\Bigr)' | ||
| + | &= \frac{(x^2+1)'\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben. | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2</math>}} | ||
| + | |||
| + | Dadurch erhalten wir | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler \displaystyle x^2+1 und dem Nenner \displaystyle x+1, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}\Bigr)' &= \frac{(x^2+1)'\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{} \end{align} |
Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben.
| \displaystyle x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2 |
Dadurch erhalten wir
| \displaystyle \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.} |
