2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[2.2 Variabelsubstitution|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[2.2 Integration durch Substitution|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Exercises]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
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* Integration by substitution
+
* Integration durch Substitution
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes:'''
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'''Lernziele:'''
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After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Understand the derivation of the formula for variable substitution .
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* Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
-
* Solve simple integration problems that require rewriting and / or substitution in one of the steps.
+
* Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
-
* Know how the limits of integration are to be changed after a variable substitution.
+
* Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
-
* Know when variable substitution is allowed.
+
* Wann Integration durch Substitution möglich ist.
}}
}}
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== Variable substitution ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
When you cannot directly determine a primitive function by using the usual rules of differentiation ”in the opposite direction” method, other methods or techniques are needed. One such is ''variable substitution'', which can be said to be based on the rule for the differentiation of composite functions &mdash; the so-called ''chain rule''.
+
== A - Integration durch Substitution ==
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The chain rule <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ </math> can be written in integral form as
+
Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.
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{{Fristående formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}}
+
Die Kettenregel <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ </math> kann in Integralform geschrieben werden:
-
or,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}}
 +
 
 +
oder
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
where ''F'' is a primitive function of ''f''. We compare this with the formula
+
wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.
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{{Fristående formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
+
-
We can see that we have replaced the term <math>u(x)</math> with variable <math>u</math> and the <math>u'(x)\, dx</math> with <math>du</math>. One thus can transform the more complicated integrand <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math> (with <math>x</math> as the variable) to the, let us hope, easier <math>f(u)</math> (with the <math>u</math> as the variable). The method is called variable substitution and can be used when the integrand can be written in the form <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math>.
+
Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
-
''Note 1'' The method is based on the assumption that all the conditions for integration are satisfied; that is, <math>u(x)</math> is differentiable in the interval in question, and that <math>f</math> is continuous for all values of <math>u</math> in the range, that is, for all the values that <math>u</math> can take on in the interval.
+
Also ist das unbekannte <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
-
'' Note 2'' Replacing <math>u'(x) \, dx</math> with <math>du</math> also may be justified by studying the transition from the increment ratio to the derivative:
+
Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall <math> (a,b) </math> differenzierbar ist.
-
{{Fristående formel||<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}</math>}}
 
-
 
-
which, as <math>\Delta x</math> goes towards zero can be considered as a formal transition between variables
 
- 
-
{{Fristående formel||<math>\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
 
-
 
-
ie., a small change, <math>dx</math>, in the variable <math>x</math> gives rise to an approximate change <math>u'(x)\,dx</math> in the variable <math>u</math>.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Determine the integral<math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
+
Berechne das Integral <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
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-
If one puts <math>u(x)= x^2</math>, one gets <math>u'(x)= 2x</math>. The variable substitution replaces <math>e^{x^2}</math> with <math>e^u</math> and <math>u'(x)\,dx</math>, i.e. <math>2x\,dx</math>, with <math>du</math>
+
Wenn wir die Substitution <math>u(x)= x^2</math> machen, erhalten wir <math>u'(x)= 2x</math>. Durch die Substitution wird <math>e^{x^2}</math>, <math>e^u</math> und <math>u'(x)\,dx</math>, also <math>2x\,dx</math> wird <math>du</math>
-
{{Fristående formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Determine the integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx</math>.
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-
Put <math>u=x^3 + 1</math>. This means <math>u'=3x^2</math>, or <math>du= 3x^2\, dx</math>, and
+
Wir substituieren, <math>u=x^3 + 1</math>.Dies ergibt <math>u'=3x^2</math>, oder <math>du= 3x^2\, dx</math>, und daher ist
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Determine the integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> where <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> wo <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
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After rewriting <math>\tan x</math> as <math>\sin x/\cos x</math> we substitute <math>u=\cos x</math>,
+
Wir schreiben <math>\tan x</math> wie <math>\sin x/\cos x</math> und machen die Substitution <math>u=\cos x</math>,
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
 +
== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==
-
== The limits of integration during variable substitution. ==
+
Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man <math> u = u(x) </math>, berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.
-
 
+
-
When calculating definite integrals, such as an area, one can go about using variable substitution in two ways. Either one can calculate the integral as usual and then switch back to the original variable and insert the original limits of integration. Alternatively one can change the limits of integration simultaneously with the variable substitution. The two methods are illustrated in the following example.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
 +
Berechne das Integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
-
Determine the integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
 
 +
'' Methode 1''
-
'' Method 1''
+
Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.
-
Put <math>u=e^x</math> which gives that <math>u'= e^x</math> and <math>du= e^x\,dx</math>
+
Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}}
-
Note that the limits of integration must be written in the form <math>x = 0</math> and <math>x = 2</math> when the variable of integration is not <math>x</math>. it is wrong to write
+
Jetzt schreiben wir wieder <math> u(x) </math> statt <math> u </math> und setzen die Integrationsgrenzen ein.
-
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}</math>}}
-
'' Method 2''
+
'' Methode 2''
-
Put <math>u=e^x</math> which gives that <math>u'= e^x</math> and <math>du= e^x\, dx</math>. The limit of integration <math>x=0</math> is equivalent to <math>u=e^0 = 1</math> and <math>x=2</math> is equivalent to <math>u=e^2</math>
+
Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.
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{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Determine the integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
+
Bestimme das Integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
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The substitution <math>u=\sin x</math> gives <math>du=\cos x\,dx</math> and the limits of integration become <math>u=\sin 0=0</math> and <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. The integral is
+
Durch die Substitution <math>u=\sin x</math> erhalten wir <math>du=\cos x\,dx</math> und die Integrationsgrenzen sind daher <math>u=\sin 0=0</math> und <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Das Integral ist daher
-
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
-
<center>{{:2.2 - Figur - Area under y = sin³x cos x resp. y = u³}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small> The figure on the left shows the graph of the integrand sin³''x'' cos ''x'' and the figure on the right the graph of integrand ''u''³ which is obtained after the variable substitution. The change of variable modifies the integrand and the interval of the integration. The integrals value, the size of the area, is not changed however. </small>
+
||<small> Das linke Bild zeigt die Funktion sin³''x'' cos ''x'' und die rechte Figur zeigt die Funktion ''u''³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht. </small>
|}
|}
Zeile 142: Zeile 141:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
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Examine the following calculation
+
Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.
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{{Fristående formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
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This calculation, however, is wrong, which is due to the fact that <math>f(u)=1/u^2</math> is not continuous '''throughout''' the interval <math>[-1,1]</math>.
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Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.
-
A necessary condition in the theory is that <math>f(u(x))</math> be defined and continuous for all values which <math>u(x)</math> can take in the interval in question. Otherwise one cannot be certain that the substitution <math>u=u(x)</math> will work.
+
Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde f&uuml;r <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).
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Wenn man die Substitutionsregel anwenden m&ouml;chte, muss die &auml;ussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion <math> u </math> stetig differenzierbar.
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||{{:2.2 - Figur - Grafen till f(u) = 1/u²}}
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||{{:2.2 - Bild - Die Kurve von f(u) = 1/u²}}
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||<small>Graph of ''f''(''u'') = 1/''u''²</small>
+
||<small>Graph von ''f''(''u'') = 1/''u''²</small>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
  • Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
  • Wann Integration durch Substitution möglich ist.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann in Integralform geschrieben werden:

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

oder

\displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

wobei F eine Stammfunktion von f ist, d.h. es gilt \displaystyle F^{\, \prime} =f .

Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}

Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x) . Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x) . Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen.

\displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx

Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx : Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert. Also haben wir

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}

Daher kann man den komplizierteren Integranden \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ersetzen (mit \displaystyle x als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck \displaystyle f(u) (mit \displaystyle u als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ist.

Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass \displaystyle u(x) im Intervall \displaystyle (a,b) differenzierbar ist.


Beispiel 1

Berechne das Integral \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u(x)= x^2 machen, erhalten wir \displaystyle u'(x)= 2x. Durch die Substitution wird \displaystyle e^{x^2}, \displaystyle e^u und \displaystyle u'(x)\,dx, also \displaystyle 2x\,dx wird \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx.

Wir substituieren, \displaystyle u=x^3 + 1.Dies ergibt \displaystyle u'=3x^2, oder \displaystyle du= 3x^2\, dx, und daher ist

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ wo \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Wir schreiben \displaystyle \tan x wie \displaystyle \sin x/\cos x und machen die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man \displaystyle u = u(x) , berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Methode 1

Wir substituieren \displaystyle u=e^x , und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\,dx = u \, dx bzw \displaystyle dx = \frac{1}{u} \, du .

Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable \displaystyle u

\displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u|

Jetzt schreiben wir wieder \displaystyle u(x) statt \displaystyle u und setzen die Integrationsgrenzen ein.

\displaystyle \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}


Methode 2

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn \displaystyle x von 0 bis 2 läuft, läuft \displaystyle u=u(x) von \displaystyle u(0) = e^0=1 bis \displaystyle u(2)=e^2.

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.

Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für \displaystyle f(u)=1/u^2 und diese Funktion nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (\displaystyle f(0) ist nicht definiert: Division durch Null).

Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion \displaystyle f stetig sein und die innere Funktion \displaystyle u stetig differenzierbar.

[Image]

Graph von f(u) = 1/u²



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