Lösung 3.3:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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In Polarform haben wir den Moivreschen Satz
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Also bringen wir <math>1+i</math> in Polarform, verwenden den Moivreschen Satz und schreiben die Potenz zuletzt wieder in der Form <math>a+ib</math>.
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Durch die Rechnungen oben sehen wir, dass
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Und durch den Moivreschen Satz erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(1+i)^{12}
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&= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos \Bigl(12\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin \Bigl(12\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
 +
&= 2^{(1/2)\cdot 12}\Bigl(\cos 3\pi + i\sin 3\pi\Bigr)\\[5pt]
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&= 2^6(-1+i\cdot 0)\\[5pt]
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&= 64\cdot (-1)\\[5pt]
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&= -64\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

In Polarform haben wir den Moivreschen Satz

\displaystyle \bigl(r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\bigr)^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)\,\textrm{.}

Also bringen wir \displaystyle 1+i in Polarform, verwenden den Moivreschen Satz und schreiben die Potenz zuletzt wieder in der Form \displaystyle a+ib.

Image:3_3_1_a1.gif Image:3_3_1_a_text.gif

Durch die Rechnungen oben sehen wir, dass

\displaystyle 1+i = \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}

Und durch den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

(1+i)^{12} &= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos \Bigl(12\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin \Bigl(12\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 2^{(1/2)\cdot 12}\Bigl(\cos 3\pi + i\sin 3\pi\Bigr)\\[5pt] &= 2^6(-1+i\cdot 0)\\[5pt] &= 64\cdot (-1)\\[5pt] &= -64\,\textrm{.} \end{align}

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