Lösung 3.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Polarform'''
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Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
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1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,
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und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
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2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad
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\end{align}\right.</math>}}
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Das ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad
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\end{align}\right.</math>}}
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Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math> und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math>.
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In Polarform lauten die Lösungen also
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
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&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt]
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&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math>, liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math>, liegt im dritten Quadrant.
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''' In der Form ''a'' + ''bi'' '''
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Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.
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Mit <math>z=x+iy</math> erhalten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt]
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x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt]
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2xy &= 1\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt]
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2xy &= 1\,,\\[5pt]
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x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
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{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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|align="right"|<math>x^2</math>
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||<math>{}-{}</math>
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|align="right"|<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="left"|<math>1</math>
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|-
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|align="left"|<math>+\ \ </math>
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|align="right"|<math>x^2</math>
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||<math>{}+{}</math>
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||<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="left"|<math>\sqrt{2}</math>
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|colspan="6"|<hr>
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||
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|align="right"|<math>2x^2</math>
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||
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||
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>\sqrt{2}+1</math>
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und wir erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
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Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
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{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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|align="right"|<math>x^2</math>
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||<math>{}+{}</math>
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|align="right"|<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="left"|<math>\sqrt{2}</math>
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|-
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|align="left"|<math>-\ \ </math>
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|align="right"|<math>\bigl(x^2</math>
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||<math>{}-{}</math>
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|align="right"|<math>y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="left"|<math>1\bigr)</math>
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|-
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|colspan="6"|<hr>
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||
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||
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|align="right"|<math>2y^2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|}
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und das ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
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Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
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y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align}\right.
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\quad
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\left\{\begin{align}
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x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
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y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align}\right.
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\quad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
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y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align}\right.
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\quad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
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y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align} \right.</math>}}
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Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
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y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align}\right.
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\qquad\text{und}\qquad
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\left\{\begin{align}
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x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
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\end{align}\right.</math>}}
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Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
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\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt]
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-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}
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und daraus folgt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt]
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\sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Wir erhalten auch
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
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Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\tan\frac{\pi}{8}
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&= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
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= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
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&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
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= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
 +
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Polarform

Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform

\displaystyle \begin{align}

z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\, \end{align}

und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}

Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad \end{align}\right.

Das ergibt

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad \end{align}\right.

Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument \displaystyle \pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi und alle ungerade Zahlen dem Argument \displaystyle 9\pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi.

In Polarform lauten die Lösungen also

\displaystyle z = \left\{\begin{align}

&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt] &\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}\right.


Eine Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8), liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8)), liegt im dritten Quadrant.


In der Form a + bi

Wir schreiben hier \displaystyle z=x+iy und versuchen die Konstanten \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.

Mit \displaystyle z=x+iy erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \begin{align}

(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt] x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.} \end{align}

Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir können hier \displaystyle x und \displaystyle y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}

Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}+1

und wir erhalten

\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1\bigr)
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}-1

und das ergibt

\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}

Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align} \right.

Die zweite Gleichung sagt auch, dass \displaystyle xy positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right.

Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein

\displaystyle z = \left\{\begin{align}

\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt] -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

\displaystyle \sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}

und daraus folgt

\displaystyle \begin{align}

\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt] \sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten auch

\displaystyle \tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}

Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern

\displaystyle \begin{align}

\tan\frac{\pi}{8} &= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}} = \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt] &= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:6“