Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 08:14, 21. Aug. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (13:14, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
-	<center> [[Image:3_3_4d-1(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
-	{{NAVCONTENT_START}}	+
-	<center> [[Image:3_3_4d-2(2).gif]] </center>	+	In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+
		+	Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
		+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
		+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Wir erhalten die Wurzeln
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
		+
		+	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
		+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
		+	z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
		+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{Rechte Seite.}
		+	\end{align}</math>

---

Aktuelle Version

Um \displaystyle z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit \displaystyle z

\displaystyle 1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn \displaystyle z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align} z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad und \displaystyle \quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

\displaystyle \begin{align} z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite,}\\[10pt] z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}