Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
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w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
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-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
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und wir erhalten die Gleichung
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Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
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r^4 &= 4\,,\\[5pt]
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4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
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und erhalten
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r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
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Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
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Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
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&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)
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\end{align}\right.
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1+i\,,&\\[5pt]
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-1+i\,,&\\[5pt]
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-1-i\,,&\\[5pt]
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1-i\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}
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Die Lösungen für z sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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&2+i\,,\\[5pt]
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&i\,,\\[5pt]
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&-i\,,\\[5pt]
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&2-i\,\textrm{.}
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\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für \displaystyle w=z-1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

\displaystyle w^4=-4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

\displaystyle \begin{align}

w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi) \end{align}

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^4 &= 4\,,\\[5pt] 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)} \end{align} \right.

und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Für \displaystyle n=0, 1, \displaystyle 2 und \displaystyle 3 nimmt das Argument \displaystyle \alpha verschiedene Werte an

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{3\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{5\pi}{4}\quadund\displaystyle \quad\frac{7\pi}{4}\,.

Während wir für andere \displaystyle n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

\displaystyle w=\left\{\begin{align}

&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} 1+i\,,&\\[5pt] -1+i\,,&\\[5pt] -1-i\,,&\\[5pt] 1-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Die Lösungen für z sind

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&2+i\,,\\[5pt] &i\,,\\[5pt] &-i\,,\\[5pt] &2-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

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