Lösung 2.3:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Ein erster Gedanke ist hier, dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für <math>\ln x</math> zu finden. Stattdessen integrieren wir <math>x</math> und leiten <math>\ln x</math> ab.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int x\cdot\ln x\,dx
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Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.

Aktuelle Version

Ein erster Gedanke ist hier, dass wir \displaystyle x ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für \displaystyle \ln x zu finden. Stattdessen integrieren wir \displaystyle x und leiten \displaystyle \ln x ab.

\displaystyle \begin{align}

\int x\cdot\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C \end{align}

Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.

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