Lösung 2.2:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}}
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Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
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und schreiben den quadratischen Term wie
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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Machen wir die Substitution <math>u = (x+2)/2</math>, erhalten wir das erwünschte Integral
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}
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&= \left\{\begin{align}
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u &= (x+2)/2\\[5pt]
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du &= dx/2
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\end{align}\right\}\\[5pt]
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&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.

\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}

Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}

und schreiben den quadratischen Term wie

\displaystyle \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}

Machen wir die Substitution \displaystyle u = (x+2)/2, erhalten wir das erwünschte Integral

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x+2)/2\\[5pt] du &= dx/2 \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.} \end{align}

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