Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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		+	\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt]
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		+	Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.
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		+	Wir suchen also die Schnittstellen:
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		+	*<math>x=a</math>: Die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=x+2</math> erfüllt beide Gleichungen:
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
		+	y &= 1\,,\\[5pt]
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		+	\end{align}\right.</math>}}
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		+	:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.
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		+	*<math>x=b</math>: Die Schnittstelle von <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x</math> erfüllt beide Gleichungen:
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
		+	y &= x+2\,,\\[5pt]
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		+	:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
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		+	:die wir mit <math>x</math> multiplizieren,
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		+	:Quadratische Ergänzung ergibt:
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt]
		+	(x+1)^2 &= 2\,.
		+	\end{align}</math>}}
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		+	:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math> und dies ergibt
		+	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
		+	liegt links von <math>x=a\,</math>.)
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		+	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, daher <math>c=1\,</math>.
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		+	Die Teilflächen sind also
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		+	\text{Linke Fläche}
		+	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
		+	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
		+	&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt]
		+	&= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt]
		+	&= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
		+	&= 1\,\textrm{.}\\[10pt]
		+	\text{Rechte Fläche}
		+	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
		+	&= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
		+	&= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt]
		+	&= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt]
		+	&= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Die gesamte Fläche ist
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	\text{Fläche}
		+	&= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt]
		+	&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
		+	&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden \displaystyle y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x\,.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b, wo die obere Grenze \displaystyle y=x+2 ist und eine zwischen \displaystyle x=b und \displaystyle x=c wo \displaystyle y=1/x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\, \end{align}

Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

• \displaystyle x=a: Die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:

\displaystyle \left\{\begin{align} y &= 1\,,\\[5pt] y &= x+2\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x+2=1, also \displaystyle x=-1\,. Daher ist \displaystyle a=-1\,.

• \displaystyle x=b: Die Schnittstelle von \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x erfüllt beide Gleichungen:

\displaystyle \left\{\begin{align} y &= x+2\,,\\[5pt] y &= 1/x\,\textrm{.} \end{align}\right.

Eliminieren wir \displaystyle y erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung

\displaystyle x+2=\frac{1}{x}\,,

die wir mit \displaystyle x multiplizieren,

\displaystyle x^{2}+2x=1\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung ergibt:

\displaystyle \begin{align} (x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt] (x+1)^2 &= 2\,. \end{align}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle x=-1\pm \sqrt{2} und dies ergibt

\displaystyle b=-1+\sqrt{2}. (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)

• \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, also ist \displaystyle x=1\,, daher \displaystyle c=1\,.

Die Teilflächen sind also

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,\textrm{.}\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Die gesamte Fläche ist

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}