Lösung 2.1:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | {{ | + | Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir |
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| + | \int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx | ||
| + | &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] | ||
| + | &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | und wir erhalten das Integral | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion. | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx | ||
| + | &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt] | ||
| + | &= -\frac{27}{6}\\[5pt] | ||
| + | &= -\frac{9}{2}\, | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx \end{align} |
und wir erhalten das Integral
| \displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.} |
Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form \displaystyle x^n besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] &= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt] &= -\frac{27}{6}\\[5pt] &= -\frac{9}{2}\, \end{align} |
