Lösung 1.3:3d

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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
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f^{\,\prime}(x)
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Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
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Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
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Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
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<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.
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Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
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und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir
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1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
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Die Ableitung ist also
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Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
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Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
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Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>.

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner \displaystyle 1+x^{4} ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{} \end{align}

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren \displaystyle x oder \displaystyle 1-2x^2-x^4 null ist. Also ist \displaystyle x=0 oder

\displaystyle 1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir \displaystyle t=x^{2} substituieren,

\displaystyle 1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 &= 2\, \end{align}

Die Lösungen sind \displaystyle t=-1\pm \sqrt{2} . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit \displaystyle x^{2} sein. Also ist \displaystyle t=-1+\sqrt{2}=x^2\,.

Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, \displaystyle x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} , \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}

und durch quadratische Ergänzung von \displaystyle 1-2x^2-x^4 (als Gleichung in \displaystyle x^{2}) erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] &= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,. \end{align}

Die Ableitung ist also

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2}-1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle 2x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.


\displaystyle x \displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1} \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)} \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow \displaystyle 1 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1) \displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=0.

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