Lösung 1.2:2e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Theoretisch ist es möglich, den Ausdruck zu erweitern und Term für Term abzuleiten. Das ist aber mühsam und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.
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Durch die Faktorregel erhalten wir
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\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
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Wir berechnen die Ableitung von <math>(2x+1)^4</math> mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten
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Durch die Kettenregel erhalten wir
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Die letzte Ableitung ist einfach
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Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
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&= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[2pt]
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&= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot (2x+1)'\\[5pt]
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&= (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2\\[5pt]
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&= (2x+1)^4 + 8x(2x+1)^3\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Wir hohlen schließlich den Faktor <math>(2x+1)^3</math> heraus
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
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&= (2x+1)^3\bigl((2x+1)+8x\bigr)\\[5pt]
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&= (2x+1)^3(10x+1)\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Theoretisch ist es möglich, den Ausdruck zu erweitern und Term für Term abzuleiten. Das ist aber mühsam und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.

Durch die Faktorregel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[5pt] &= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\,\textrm{.} \end{align}

Wir berechnen die Ableitung von \displaystyle (2x+1)^4 mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten

\displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}

Durch die Kettenregel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\bigr] &= 4\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,3}\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,\prime}\,,\\[5pt] \frac{d}{dx}\,\bigl[(2x+1)^4\bigr] &= 4\cdot (2x+1)^3\cdot (2x+1)'\,\textrm{.} \end{align}

Die letzte Ableitung ist einfach

\displaystyle (2x+1)' = 2\,\textrm{.}

Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[2pt] &= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot (2x+1)'\\[5pt] &= (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2\\[5pt] &= (2x+1)^4 + 8x(2x+1)^3\,\textrm{.} \end{align}

Wir hohlen schließlich den Faktor \displaystyle (2x+1)^3 heraus

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (2x+1)^3\bigl((2x+1)+8x\bigr)\\[5pt] &= (2x+1)^3(10x+1)\,\textrm{.} \end{align}

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