1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[1.1 Inledning till derivata|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[1.1 Einführung zur Differentialrechnung|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[1.1 Övningar|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[1.1 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Definition of the derivative (overview).
+
* Die Definition der Ableitung
-
* Derivative of <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> and <math>\tan x</math>.
+
* Die Ableitungen von <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math>.
-
* Derivative of sums and differences.
+
* Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
-
* Tangents and normals to curves.
+
* Tangenten und Normalen.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
* That the first derivative <math>f^{\,\prime}(a)</math> is the slope of the curve <math>y&#061;f(x)</math> at the point <math>x&#061;a</math>.
+
* Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(a)</math> der Funktion <math> f </math> ist die Steigung des Graphen von <math>f </math> an der Stelle <math>x = a</math>.
-
* That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
+
* Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
-
* That there are functions that are not differentiable (such as <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> at <math>x&#061;0</math>).
+
* Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> an der Stelle <math>x&#061;0</math>).
-
* To differentiate <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> and <math>\tan x</math> as well as the sums / differences of such terms.
+
* Wie man <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math> sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
-
* To determine the tangent and normal to the curve <math>y&#061;f(x)</math>.
+
* Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
-
* That the derivative can be denoted by <math>f^{\,\prime}(x)</math> och <math>df/dx(x)</math>.
+
* Die Ableitung von <math> f </math> an der Stelle <math>x_0</math> wird mit <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> oder <math>\frac{df}{dx}(x_0)</math> bezeichnet.
}}
}}
-
== Introduction ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
When studying mathematical functions and their graphs one of the main areas of study of a function is the way it changes, i.e. whether a function is increasing or decreasing and the rate at which this is taking place.
+
== A - Einführung ==
 +
Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.
-
One makes use of the concept rate of change (or speed of change), which is a measure of how the value of the function (<math>y</math>) is changing per unit increase in the variable (<math>x</math>). If one knows two points on a graph of a function one can get a measure of the rate of change of the function between these points by calculating the increment ratio
+
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{increment in @(i)y@(/i)}}{\text{increment in@(i)x@(/i)}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}</math>.}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
 
+
-
The linear functions <math>f(x)=x</math> and <math>g(x)=-2x</math> change by the same amount everywhere. Their rates of change are <math>1</math> and. <math>−2</math>, which are the slopes of these straight lines.
+
 +
Die linearen Funktionen <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=-2x</math> haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich <math>1</math> und <math>−2</math>.
Zeile 47: Zeile 47:
<center>
<center>
{|
{|
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = x}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Graph of ''f''(''x'') = ''x'' has slope&nbsp;1.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''f''(''x'') = ''x'' hat die Steigung &nbsp;1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Graph of ''g''(''x'') = - 2''x'' has slope&nbsp;-&nbsp;2.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''g''(''x'') = - 2''x'' hat die Steigung &nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
|}
</center>
</center>
-
+
-
Thus for a linear function the rate of change is the same as the slope.
+
Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.
</div>
</div>
-
For a function for which the value changes with time, it is natural to use the term speed of change because rate of change specifies how the value of the functions is changing per unit time.
+
Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80&nbsp;km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.
-
 
+
-
If a car is moving at a speed of 80&nbsp;km/h then the distance traveled, ''s'' km, after ''t'' hours is given by the function <math>s(t)=80 t</math>.
+
-
The rate of change of the function indicates how the value of the function is changing per hour, which of course is the same as the car's speed, 80&nbsp;km/h.
+
-
 
+
-
For non-linear functions however, the slope of the curve of the function is changing all the time and thus also the function's rate of change. In order to determine how such a function is changing, we can either give the functions average change ( its mean) between two points on the curve of the function, or the instantaneous rate of change at one point on the curve.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
For the function <math>f(x)=4x-x^2</math> one has <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> and <math>f(4)=0</math>.
+
Für die Funktion <math>f(x)=4x-x^2</math> gilt, dass <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> und <math>f(4)=0</math>. Also sind <math> (1,3), (2,4) </math> und <math> (4,0) </math> Punkte des Graphen von <math> f </math>.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Mean change (mean slope) from <math>x = 1</math>
+
<li> Die Steigung der Sekante durch die Punkte <math> (1,3) </math> und <math> (2,4) </math> ist
-
to <math>x = 2</math> is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu. </li>
-
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
+
-
and the function increases in this interval. </li>
+
-
<li> Mean change from <math>x = 2</math> to <math>x = 4</math> is
+
<li> Die Sekantensteigung von <math>x = 2</math> bis <math>x = 4</math> ist
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
-
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
+
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
-
and the function decreases in this interval.</li>
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.</li>
-
<li> Between <math>x = 1</math> and <math>x = 4</math> the mean change is
+
<li> Zwischen <math>x = 1</math> und <math>x = 4</math> ist die Sekantensteigung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
-
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
On average, the function decreases in this interval, although the function both increases and decreases within this interval.t.</li>
+
Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.</li>
</ol>
</ol>
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 2}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 2 the function has the mean change 1/1 = 1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 4 the function has the mean change (-3)/3 = -1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.</small>
|}
|}
</center>
</center>
Zeile 108: Zeile 101:
</div>
</div>
 +
== B - Definition der Ableitung==
-
==Definition of the derivative ==
+
Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P''<math>=(x,f(x)) </math> zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen ''P'' und ''Q'':
-
To calculate the instantaneous rate of change of a function, that is, the slope of its curve at a point ''P'', we temporarily use an additional point ''Q'' in the vicinity of ''P'' and construct the increment ratio between ''P'' and ''Q'':
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
-
<center>{{:1.1 - Figur - Differenskvot mellan P och Q}}</center>
+
'''Sekantensteigung'''
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
 +
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
-
'''Increment ratio'''
+
Wenn wir den Punkt ''Q'' immer näher dem Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f</math> im Punkt ''P'' oder (weil <math> P=(x,f(x)) </math>) an der Stelle <math> x </math>.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
+
-
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
+
-
 
+
-
 
+
-
If we allow ''Q'' to approach ''P'' (that is allow <math>h \rightarrow 0</math>) we can work out what the value would be if the points coincided, and thus obtain the slope at the point ''P''. We call this value ''the derivative'' of <math>f(x)</math> at the point ''P'', and can be interpreted as the instantaneous rate of change of <math>f(x)</math> at the point ''P''.
+
-
 
+
-
The derivative of a function <math>f(x)</math> is written as <math>f^{\,\prime}(x)</math> and may be formally defined as follows:
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
''The derivative'' of a function <math>f(x)</math>, is defined as
+
Die Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math> x </math> schreibt man als <math>f^{\,\prime}(x)</math>. Sie ist definiert als:
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
-
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
+
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-
If <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> exists, one says that <math>f(x)</math> is ''differentiable'' at the point <math>x=x_0</math>.
+
Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
</div>
</div>
-
Different notations for the derivative are used, for example,
+
Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.
 +
 
 +
Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" | <math>f(x)</math>
| align="center" | <math>f(x)</math>
Zeile 150: Zeile 141:
|-
|-
| align="center" | <math>s(t)</math>
| align="center" | <math>s(t)</math>
-
| align="center" | <math>\dot s(t)</math>
+
| align="center" | <math>s^{\,\prime}(t)</math>
|}
|}
 +
== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==
-
== The sign of the derivative ==
+
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:
-
The sign of the derivative (+/−) tells us if the functions graph slopes upwards or downwards, that is, if the function is increasing or decreasing:
+
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> steigend ist.
-
 
+
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> fallend ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive slope) means that <math>f(x)</math> is increasing.
+
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet, dass <math>f(x)</math> waagerecht ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative slope) means that <math>f(x)</math> is decreasing.
+
-
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (no slope) means that <math>f(x)</math> is stationary (horisontal).
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(2)=3\ </math> means that '''the value of the function''' is
+
<li><math>f(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''der Wert der Funktion'''
-
<math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
<math>3</math> ist.</li>
-
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math>means that '''the value of the derivative'''
+
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''die Steigung der Funktion''' <math>3</math> ist.</li>
-
is <math>3</math> when <math>x=2</math>, which in turn means that the
+
-
functions graph has a slope <math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
From the figure one can obtain that
+
Aus der Abbildung sehen wir, dass
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 194: Zeile 182:
| width="30px" |
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g}}
+
{{:1.1 - Bild - Die Kurve von y = f(x) mit den Punkten x = a, b, c, d, e und g}}
|}
|}
</center>
</center>
-
Note the different meanings of <math>f(x)</math> and <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
+
Beachte den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
The temperature in a thermos is given by a function, where <math>T(t)</math> is the temperature of the thermos after <math>t</math> minutes. Interpret the following using mathematical symbols:
+
Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> Minuten ist gegeben. Wir erklären <math> T(t) </math> und <math> T^\prime(t)</math> umgangssprachlich.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> After 10&nbsp;minutes the temperature is 80°.<br><br>
+
<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>
-
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
+
<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10&nbsp;Minuten ist die Temperatur 80°.</li>
-
<li> After 2&nbsp;minutes the temperature is dropping in the thermos by 3° per minute <br><br>
+
<li><math>T'(2)=-0{,}3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur <math> 0{,}3^\circ </math> pro Minute ab.<br>
-
<math>T'(2)=-3</math> (the temperature is decreasing, which is why the derivative is negative)<br><br></li>
+
(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
The function <math>f(x)=|x|</math> does not have a derivative at <math>x=0</math>. One cannot determine how the graph of the function slopes at the point <math>(0,0)</math> (see figure below).
+
Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> nicht bestimmen (Siehe Abbildung).
-
One can express this, for example, in one of the following ways:"<math>f^{\,\prime}(0)</math> does not exist", "<math>f^{\,\prime}(0)</math> is not defined " or "<math>f(x)</math> is not differentiable at <math>x=0</math>".
+
Man kann auch sagen, dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert oder nicht definiert ist.
-
<center>{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = beloppet av x}}</center>
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
-
<center><small> graph of the function ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
+
<center><small> Graph der Funktion ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
</div>
</div>
 +
== D - Ableitungen von Funktionen ==
-
== Differentiation rules ==
+
Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
-
 
+
-
Using the definition of differentiation one can determine the derivatives for the standard types of functions.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
If <math>f(x)=x^2</math> then, according to the definition of the increment ratio
+
Wenn <math>f(x)=x^2</math> ist, ist laut der Definition der Ableitung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
-
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
-
If we then let <math>h</math> go to zero, we see that the slope at the point becomes <math>2x</math>. We have thus shown that the slope of an arbitrary point on the curve <math>y=x^2</math> is <math>2x</math>. That is, the derivative of <math>x^2</math> is <math>2x</math>.
+
Lassen wir <math>h</math> sich Null nähern, erhalten wir <math>2x</math>. Also ist die Steigung der Funktion <math>y=x^2</math>, <math>2x</math> an der Stelle ''x''. Also ist die Ableitung von <math>x^2</math>, <math>2x</math>.
</div>
</div>
-
In a similar way, we can deduce general differentiation rules:
+
Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" |<math>x^n</math>
| align="center" |<math>x^n</math>
Zeile 269: Zeile 256:
|}
|}
 +
Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(f(x) +g(x))^{\,\prime}
 +
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
In addition, for sums and differences of expressions of functions one has
+
Und, wenn ''k'' eine Konstante ist, ist
-
{{Fristående formel||<math>D(f(x) +g(x))
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(k \, f(x))^{\,\prime}
-
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
Additionally, if ''k'' is a constant, then
+
-
{{Fristående formel||<math>D(k \cdot f(x))
+
-
= k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)
<li><math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)
Zeile 286: Zeile 272:
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
-
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> gives that
+
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ergibt
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
Zeile 293: Zeile 279:
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
-
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> gives that
+
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ergibt
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 300: Zeile 286:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> gives that
+
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ergibt
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
-
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> gives that <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
+
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ergibt <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
-
gives that<math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
+
ergibt <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
-
= (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
+
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
-
<math>\qquad\quad</math> gives that<math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
+
<math>\qquad\quad</math> ergibt <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 319: Zeile 305:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
-
The function <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> has the derivative
+
Die Funktion <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> hat die Ableitung
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
-
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
-
This means, for example, that <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> and that <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. However, the derivative <math>f'(0)</math> is not defined.
+
Also ist zum Beispiel <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> und <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Die Ableitung <math>f'(0)</math> ist aber nicht definiert.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
An object moves according to <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, where <math>s(t)</math> km is the distance from the starting point after <math>t</math> hours. Calculate <math>s'(3)</math> and explain what the value stands for.
+
Ein Gegenstand bewegt sich so wie <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, wo <math>s(t)</math> km die Strecke des Gegenstandes nach <math>t</math> Stunden ist. Berechnen Sie <math>s'(3)</math> und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Differentiating with respect to the time
+
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
-
{{Fristående formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
-
\text{which gives that}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
+
\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
-
= 8\,\mbox{.}</math>}}
+
= 8\,\mbox{.}</math>}}
-
This might suggest that after 3 hours the object's speed is 8 km/h.
+
Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
The total cost <math>T</math> dollars for the manufacture of <math>x</math> objects is given by the function
+
Die Gesamtkosten <math>T</math> in Euro für die Herstellung von <math>x</math> Gegenständen sind
-
{{Fristående formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
-
\text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
+
\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Berechne und erkläre folgende Ausdrücke
-
Calculate and explain the meaning of the following expressions.
+
<br>
<br>
<br>
<br>
Zeile 361: Zeile 346:
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
= 83104\,</math>.<br>
= 83104\,</math>.<br>
-
The total cost to manufacture 120 objects is 83104 dollars.</li>
+
Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro. </li><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
-
The derivative is given by <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> and
+
Die Ableitung ist <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> und daher ist
-
therefore, is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120
-
{{Fristående formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120
+
\approx 348\textrm{.}</math>}}
-
\approx 348\textrm{.}</math>}}
+
Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro. </li>
-
Marginal costs ("the cost to produce an additional 1 object") of 120 manufactured objects is approximately 348 dollars. </li>
+
</ol>
</ol>
Zeile 373: Zeile 357:
-
== Tangents and normals ==
+
== E - Tangenten und Normalen ==
-
A ''tangent'' to a curve is a straight line tangential to the curve.
+
Eine ''Tangente'' ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.
-
A ''normal'' to a curve at a point on the curve is a straight line that is perpendicular to the curve at the
+
Eine ''Normale'' ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.
-
point (and hence perpendicular to the curve's tangent at this point).
+
-
For perpendicular lines, the product of their slopes is <math>–1</math>, i.e. if the tangents slope is <math>k_T</math> and the normals is <math>k_N</math> then <math>k_T \cdot k_N = -1</math>. Since we can determine the slope of a curve with the help of the derivative, we can also determine the equation of a tangent or a normal, if we know the equation for the curve.
+
Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung der Normalen <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 13'''
+
''' Beispiel 13'''
-
Determine the equation for the tangent and the normal to the curve <math>y=x^2 + 1</math> at the point <math>(1,2)</math>.
+
Bestimme die Tangente der Funktion <math>y=x^2 + 1</math> im Punkt <math>(1,2)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We write the tangents equation as <math>y = kx + m</math>. Since it is to tangent (touch) the curve at <math>x=1</math> it must have a slope of <math>k= y'(1)</math>, i.e.
+
Wir schreiben die Gleichung der Tangente <math>y = kx + m</math>. Nachdem die Gerade die Kurve bei <math>x=1</math> berührt, ist <math>k= y'(1)</math>, also
-
{{Fristående formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}
-
The tangent also passes through the point <math>(1,2)</math> and therefore <math>(1,2)</math> must satisfy the tangents equation
+
Nachdem die Tangente durch den Punkt <math>(1,2)</math> geht, haben wir
-
{{Fristående formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
-
m = 0</math>.}}
+
m = 0</math>.}}
-
The tangents equation is thus <math>y=2x</math>.
+
Die Tangente ist also <math>y=2x</math>.
 +
Die Steigung der Normalen ist <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
-
The slope of the normal is <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
+
Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt <math>(1, 2)</math>, und daher ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
 +
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
-
In addition, the normal also passes through the point <math>(1, 2)</math> , i.e.
+
Die Normale ist also <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
-
 
+
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
+
-
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
+
-
 
+
-
The normal has the equation <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
+
Zeile 415: Zeile 395:
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Tangente y = 2x}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Normale y = (5 - x)/2}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Tangent <math>y=2x</math></small>
+
| align="center" |<small>Tangente <math>y=2x</math></small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Normal <math>y=(5-x)/2</math></small>
+
| align="center" |<small>Normale <math>y=\frac{5-x}{2}</math></small>
|}
|}
</center>
</center>
Zeile 430: Zeile 410:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 14'''
+
''' Beispiel 14'''
-
The curve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> has a tangent with a slope of <math>–1</math>. Determine the point of tangency (where the tangent touches the curve).
+
Die Kurve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> hat eine Tangente mit der Steigung <math>–1</math>. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.
<br>
<br>
<br>
<br>
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="90%" |
| width="90%" |
-
The derivative of the right-hand side is <math>y' = 2 \, e^x -3</math> and at the point of tangency the derivative must be equal to <math>-1</math>, that is,
+
Die Ableitung ist <math>y' = 2 \, e^x -3</math> und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung <math>-1</math> sein, also
-
<math>y' = -1</math>, and this gives us the equation
+
<math>y' = -1</math>. Wir erhalten dadurch
-
{{Fristående formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
-
which has a solution <math> x=0</math>. At the point <math>x=0</math> the curve has <math>y</math>-value <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math> and therefore the point of tangency is <math>(0,2)</math>.
+
mit der Lösung <math> x=0</math>. An der Stelle <math>x=0</math> hat die Kurve den <math>y</math>-Wert <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math>, und daher ist der tangentiale Punkt <math>(0,2)</math>.
| width="10%" |
| width="10%" |
-
||{{:1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)}}
+
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}
|}
|}
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normalen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) der Funktion \displaystyle f ist die Steigung des Graphen von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x = a.
  • Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
  • Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert an der Stelle \displaystyle x=0).
  • Wie man \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
  • Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
  • Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x_0 wird mit \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) oder \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0) bezeichnet.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}.

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.


[Image]

[Image]

Graph von f(x) = x hat die Steigung  1. Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach t Stunden s= 80 t km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also \displaystyle s(t)=80 t. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt, dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0. Also sind \displaystyle (1,3), (2,4) und \displaystyle (4,0) Punkte des Graphen von \displaystyle f .

  1. Die Steigung der Sekante durch die Punkte \displaystyle (1,3) und \displaystyle (2,4) ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}

    = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}

    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}

    = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}

    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.


B - Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P\displaystyle =(x,f(x)) zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}

= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f im Punkt P oder (weil \displaystyle P=(x,f(x)) ) an der Stelle \displaystyle x .

Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x schreibt man als \displaystyle f^{\,\prime}(x). Sie ist definiert als:

\displaystyle f^{\,\prime}(x)

= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Wenn für ein \displaystyle x_0 der Grenzwert \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x=x_0 differenzierbar ist.

Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für \displaystyle h nach Null", den man als \displaystyle \lim_{h \to 0} schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von \displaystyle h gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass \displaystyle h immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle s^{\,\prime}(t)

C - Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) steigend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) fallend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet, dass \displaystyle f(x) waagerecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 die Steigung der Funktion \displaystyle 3 ist.

Beispiel 4

Aus der Abbildung sehen wir, dass

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachte den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Wir erklären \displaystyle T(t) und \displaystyle T^\prime(t) umgangssprachlich.

  1. \displaystyle T(0)=85 : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.
  2. \displaystyle T(10)=80 : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.
  3. \displaystyle T'(2)=-0{,}3 : Zum Zeitpunkt \displaystyle t=2 nimmt die Temperatur \displaystyle 0{,}3^\circ pro Minute ab.
    (Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist an der Stelle \displaystyle x=0 nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) nicht bestimmen (Siehe Abbildung).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

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Graph der Funktion f(x) = |x|

D - Ableitungen von Funktionen

Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}

= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich Null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x an der Stelle x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle (f(x) +g(x))^{\,\prime}

= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle (k \, f(x))^{\,\prime}

= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}

= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad

\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad

\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechne und erkläre folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
    Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.


  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120

    \approx 348\textrm{.}

    Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro.


E - Tangenten und Normalen

Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.

Eine Normale ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.

Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.


Beispiel 13

Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad

m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m

\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normale \displaystyle y=\frac{5-x}{2}


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung \displaystyle -1 sein, also \displaystyle y' = -1. Wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. An der Stelle \displaystyle x=0 hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2).

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