Lösung 3.2:6e

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Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
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und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
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&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt]
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&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
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&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.

\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}

Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:

Image:3_2_6_e_bild.gif Image:3_2_6_e_bildtext.gif

und erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}

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