Lösung 3.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we use
+
Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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<math>w=z-\text{1}</math>
+
-
as a new unknown and move the term
+
-
<math>\text{4}</math>
+
-
over to the right-hand side, we have a binomial equation,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}}
-
<math>w^{4}=-4</math>
+
Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
 +
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
 +
\end{align}</math>}}
-
We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
+
und wir erhalten die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
-
& w=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
+
-
& -4=4\left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
 +
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
 +
\end{align} \right.</math>}}
-
and the equation becomes
+
und erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
 +
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>r^{4}\left( \cos 4\alpha +i\sin 4\alpha \right)=4\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)</math>
+
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
-
The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of
+
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
-
<math>2\pi </math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)
 +
\end{align}\right.
 +
=
 +
\left\{\begin{align}
 +
1+i\,,&\\[5pt]
 +
-1+i\,,&\\[5pt]
 +
-1-i\,,&\\[5pt]
 +
1-i\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
Die Lösungen für z sind
-
r^{4}=4 \\
+
-
4\alpha =\pi +2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
-
which gives us that
+
&2+i\,,\\[5pt]
-
 
+
&i\,,\\[5pt]
-
 
+
&-i\,,\\[5pt]
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
&2-i\,\textrm{.}
-
r=\sqrt[4]{2}=\sqrt{2} \\
+
\end{align}\right.</math>}}
-
\alpha =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
for
+
-
<math>n=0,\ 1,\ 2</math>
+
-
and
+
-
<math>3</math>, the argument
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
assumes the four different values
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{\pi }{4},\ \frac{3\pi }{4},\ \frac{5\pi }{4}</math>
+
-
and
+
-
<math>\frac{7\pi }{4}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and for different values of
+
-
<math>n</math>
+
-
we obtain values of
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
which are equal to those above, apart from multiples of
+
-
<math>2\pi </math>. Thus, we have four solutions,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>w=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
\sqrt{2}\left( \cos {\pi }/{4}\;+i\sin {\pi }/{4}\; \right) \\
+
-
\sqrt{2}\left( \cos {3\pi }/{4}\;+i\sin 3{\pi }/{4}\; \right) \\
+
-
\sqrt{2}\left( \cos {5\pi }/{4}\;+i\sin 5{\pi }/{4}\; \right) \\
+
-
\sqrt{2}\left( \cos 7{\pi }/{4}\;+i\sin 7{\pi }/{4}\; \right) \\
+
-
\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
1+i \\
+
-
-1+i \\
+
-
-1-i \\
+
-
1-i \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and the original variable z is
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
2+i \\
+
-
i \\
+
-
-i \\
+
-
2-i \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+

Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für \displaystyle w=z-1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

\displaystyle w^4=-4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

\displaystyle \begin{align}

w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi) \end{align}

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^4 &= 4\,,\\[5pt] 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)} \end{align} \right.

und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Für \displaystyle n=0, 1, \displaystyle 2 und \displaystyle 3 nimmt das Argument \displaystyle \alpha verschiedene Werte an

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{3\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{5\pi}{4}\quadund\displaystyle \quad\frac{7\pi}{4}\,.

Während wir für andere \displaystyle n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

\displaystyle w=\left\{\begin{align}

&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} 1+i\,,&\\[5pt] -1+i\,,&\\[5pt] -1-i\,,&\\[5pt] 1-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Die Lösungen für z sind

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&2+i\,,\\[5pt] &i\,,\\[5pt] &-i\,,\\[5pt] &2-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

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