Lösung 3.3:2b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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			Lösung 3.3:2b
			
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- Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform: + Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] + z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
- -1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,, + -1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung + Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von  <math>2\pi</math> unterscheiden, + Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 r^3 &= 1\,,\\[5pt]  r^3 &= 1\,,\\[5pt]
- 3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),} + 3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
 \end{align}\right.</math>}}  \end{align}\right.</math>}}
    
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 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
- r &= 1\,\\[5pt] + r &= 1\,,\\[5pt]
- \alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).} + \alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
 \end{align}\right.</math>}}  \end{align}\right.</math>}}
  
- Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>), + Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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 \end{align} \right.</math>}}  \end{align} \right.</math>}}
  
- Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben. + Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
  
 [[Image:3_3_2_b.gif|center]]  [[Image:3_3_2_b.gif|center]]
Aktuelle Version
Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.





\displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
\end{align}



Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung





\displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}


Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden





\displaystyle \left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Dadurch erhalten wir





\displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Für jede dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle n=1 und für \displaystyle n=2).





\displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
\end{align}\right.
=
\left\{\begin{align}
&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
\end{align} \right.



Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.



Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:2b“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform: + Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] + z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung + Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von  <math>2\pi</math> unterscheiden, + Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
  
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- r &= 1\,\\[5pt] + r &= 1\,,\\[5pt]
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- Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>), + Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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 \end{align} \right.</math>}}  \end{align} \right.</math>}}
  
- Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben. + Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
  
 [[Image:3_3_2_b.gif|center]]  [[Image:3_3_2_b.gif|center]]
Aktuelle Version
Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.





\displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
\end{align}



Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung





\displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}


Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden





\displaystyle \left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Dadurch erhalten wir





\displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Für jede dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle n=1 und für \displaystyle n=2).





\displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
\end{align}\right.
=
\left\{\begin{align}
&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
\end{align} \right.



Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.



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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
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                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] + z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung + Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von  <math>2\pi</math> unterscheiden, + Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
  
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- Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>), + Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 38:
Zeile 38:
 \end{align} \right.</math>}}  \end{align} \right.</math>}}
  
- Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben. + Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
  
 [[Image:3_3_2_b.gif|center]]  [[Image:3_3_2_b.gif|center]]
Aktuelle Version
Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.





\displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
\end{align}



Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung





\displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}


Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden





\displaystyle \left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Dadurch erhalten wir





\displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.



Für jede dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle n=1 und für \displaystyle n=2).





\displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
\end{align}\right.
=
\left\{\begin{align}
&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
\end{align} \right.



Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.



Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:2b“
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-Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:
+Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
+z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt]
--1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
+-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
 \end{align}</math>}}
-und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
+Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
 {{Abgesetzte Formel||<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
-Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von  <math>2\pi</math> unterscheiden,
+Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
+\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
 \end{align}\right.</math>}}
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 {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-r &= 1\,\\[5pt]
+r &= 1\,,\\[5pt]
-\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
 \end{align}\right.</math>}}
-Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>),
+Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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 \end{align} \right.</math>}}
-Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.
+Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
 [[Image:3_3_2_b.gif|center]]
 \displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] 
-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
\end{align}
 \displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}
 \displaystyle \left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt]
3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.
 \displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.
 \displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
\end{align}\right.
=
\left\{\begin{align}
&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
\end{align} \right.