Lösung 3.3:2b

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Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.
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Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
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Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
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Dadurch erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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r &= 1\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
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\end{align}\right.</math>}}
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Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
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&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
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&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
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&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
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\left\{\begin{align}
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&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
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&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
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&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
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\end{align} \right.</math>}}
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Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.
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Aktuelle Version

Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt] -1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\, \end{align}

Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^3 &= 1\,,\\[5pt] 3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Dadurch erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Für jede dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle n=1 und für \displaystyle n=2).

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt] &-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt] &\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right.

Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.

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