2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[2.2 Variabelsubstitution|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[2.2 Integration durch Substitution|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* Variabelsubstitution
+
* Integration durch Substitution
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution.
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* Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
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* Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg.
+
* Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
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* Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution.
+
* Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
-
* Veta när en variabelsubstitution är tillåten.
+
* Wann Integration durch Substitution möglich ist.
}}
}}
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== Variabelsubstitution ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner &mdash; den s.k. ''kedjeregeln''.
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== A - Integration durch Substitution ==
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Kedjeregeln <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ </math> kan i integralform skrivas
+
Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.
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{{Fristående formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}}
+
Die Kettenregel <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ </math> kann in Integralform geschrieben werden:
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eller,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}}
 +
 
 +
oder
<div class="regel">
<div class="regel">
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{{Fristående formel||<math>\int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
där ''F'' är en primitiv funktion till ''f''. Jämför vi denna formel med
+
wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.
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{{Fristående formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{,}</math>}}
+
-
så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket <math>u(x)</math> med variabeln <math>u</math> och <math>u'(x)\, dx</math> med <math>du</math>. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math> (med <math>x</math> som variabel) med den förhoppningsvis enklare <math>f(u)</math> (med <math>u</math> som variabel). Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math>.
+
Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
-
''Anm. 1'' Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att <math>u(x)</math> är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att <math>f</math> är kontinuerlig i värdemängden till <math>u</math>, dvs. för alla värden som <math>u</math> kan anta i intervallet.
+
Also ist das unbekannte <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
-
''Anm. 2'' Att ersätta <math>u'(x) \, dx</math> med <math>du</math> kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:
+
Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall <math> (a,b) </math> differenzierbar ist.
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{{Fristående formel||<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}</math>}}
 
-
 
-
vilket när <math>\Delta x</math> går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång
 
- 
-
{{Fristående formel||<math>\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
 
-
 
-
dvs., en liten ändring, <math>dx</math>, i variabeln <math>x</math> ger upphov till en ungefärlig ändring <math>u'(x)\,dx</math> i variabeln <math>u</math>.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Bestäm integralen <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
+
Berechne das Integral <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
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-
Om man sätter <math>u(x)= x^2</math>, så blir <math>u'(x)= 2x</math>. Vid variabelbytet ersätts då <math>e^{x^2}</math> med <math>e^u</math> och <math>u'(x)\,dx</math>, dvs. <math>2x\,dx</math>, med <math>du</math>
+
Wenn wir die Substitution <math>u(x)= x^2</math> machen, erhalten wir <math>u'(x)= 2x</math>. Durch die Substitution wird <math>e^{x^2}</math>, <math>e^u</math> und <math>u'(x)\,dx</math>, also <math>2x\,dx</math> wird <math>du</math>
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{{Fristående formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Bestäm integralen <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx</math>.
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Sätt <math>u=x^3 + 1</math>. Då blir <math>u'=3x^2</math>, eller <math>du= 3x^2\, dx</math>, och
+
Wir substituieren, <math>u=x^3 + 1</math>.Dies ergibt <math>u'=3x^2</math>, oder <math>du= 3x^2\, dx</math>, und daher ist
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Bestäm integralen <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> där <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
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Bestimme das Integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> wo <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
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Efter en omskrivning av <math>\tan x</math> som <math>\sin x/\cos x</math> substituerar vi <math>u=\cos x</math>,
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Wir schreiben <math>\tan x</math> wie <math>\sin x/\cos x</math> und machen die Substitution <math>u=\cos x</math>,
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
 +
== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==
-
== Integrationsgränser vid variabelbyte ==
+
Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man <math> u = u(x) </math>, berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.
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+
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Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel.
+
-
 
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
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Berechne das Integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
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Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
 
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'' Methode 1''
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''Metod 1''
+
Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.
-
Sätt <math>u=e^x</math> vilket ger att <math>u'= e^x</math> och <math>du= e^x\,dx</math>
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Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}}
-
Observera att integrationsgränserna måste skrivas <math>x = 0</math> och <math>x = 2</math> när integrationsvariabeln inte är <math>x</math>. Det vore fel att skriva
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Jetzt schreiben wir wieder <math> u(x) </math> statt <math> u </math> und setzen die Integrationsgrenzen ein.
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{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}</math>}}
-
''Metod 2''
+
'' Methode 2''
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Sätt <math>u=e^x</math> vilket ger att <math>u'= e^x</math> och <math>du= e^x\, dx</math>. Integrationsgränsen <math>x=0</math> motsvaras då av <math>u=e^0 = 1</math> och <math>x=2</math> motsvaras av <math>u=e^2</math>
+
Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.
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{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
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Beräkna integralen <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
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Bestimme das Integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
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Substitutionen <math>u=\sin x</math> ger att <math>du=\cos x\,dx</math> och integrationsgränserna förändras till <math>u=\sin 0=0</math> och <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Integralen blir
+
Durch die Substitution <math>u=\sin x</math> erhalten wir <math>du=\cos x\,dx</math> und die Integrationsgrenzen sind daher <math>u=\sin 0=0</math> und <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Das Integral ist daher
-
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
-
<center>{{:2.2 - Figur - Area under y = sin³x cos x resp. y = u³}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>Figuren till vänster visar grafen till integranden sin³''x'' cos ''x'' och figuren till höger grafen till integranden ''u''³ som fås efter variabelsubstitutionen. Vid variabelbytet ändras integranden och integrationsintervallet. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.</small>
+
||<small> Das linke Bild zeigt die Funktion sin³''x'' cos ''x'' und die rechte Figur zeigt die Funktion ''u''³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht. </small>
|}
|}
Zeile 143: Zeile 141:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
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Betrakta beräkningen
+
Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.
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{{Fristående formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
{| width="100%"
{| width="100%"
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| width="95%" |
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Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att <math>f(u)=1/u^2</math> inte är kontinuerlig i '''hela''' intervallet <math>[-1,1]</math>.
+
Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.
-
Villkoret att <math>f(u(x))</math> ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som <math>u(x)</math> kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen <math>u=u(x)</math> ska fungera.
+
Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde f&uuml;r <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).
 +
 
 +
Wenn man die Substitutionsregel anwenden m&ouml;chte, muss die &auml;ussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion <math> u </math> stetig differenzierbar.
| width="5%" |
| width="5%" |
||
||
{|
{|
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||{{:2.2 - Figur - Grafen till f(u) = 1/u²}}
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||{{:2.2 - Bild - Die Kurve von f(u) = 1/u²}}
|-
|-
-
||<small>Grafen till ''f''(''u'') = 1/''u''²</small>
+
||<small>Graph von ''f''(''u'') = 1/''u''²</small>
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</div>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
  • Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
  • Wann Integration durch Substitution möglich ist.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann in Integralform geschrieben werden:

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

oder

\displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

wobei F eine Stammfunktion von f ist, d.h. es gilt \displaystyle F^{\, \prime} =f .

Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}

Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x) . Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x) . Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen.

\displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx

Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx : Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert. Also haben wir

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}

Daher kann man den komplizierteren Integranden \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ersetzen (mit \displaystyle x als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck \displaystyle f(u) (mit \displaystyle u als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ist.

Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass \displaystyle u(x) im Intervall \displaystyle (a,b) differenzierbar ist.


Beispiel 1

Berechne das Integral \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u(x)= x^2 machen, erhalten wir \displaystyle u'(x)= 2x. Durch die Substitution wird \displaystyle e^{x^2}, \displaystyle e^u und \displaystyle u'(x)\,dx, also \displaystyle 2x\,dx wird \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx.

Wir substituieren, \displaystyle u=x^3 + 1.Dies ergibt \displaystyle u'=3x^2, oder \displaystyle du= 3x^2\, dx, und daher ist

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ wo \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Wir schreiben \displaystyle \tan x wie \displaystyle \sin x/\cos x und machen die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man \displaystyle u = u(x) , berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Methode 1

Wir substituieren \displaystyle u=e^x , und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\,dx = u \, dx bzw \displaystyle dx = \frac{1}{u} \, du .

Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable \displaystyle u

\displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u|

Jetzt schreiben wir wieder \displaystyle u(x) statt \displaystyle u und setzen die Integrationsgrenzen ein.

\displaystyle \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}


Methode 2

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn \displaystyle x von 0 bis 2 läuft, läuft \displaystyle u=u(x) von \displaystyle u(0) = e^0=1 bis \displaystyle u(2)=e^2.

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.

Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für \displaystyle f(u)=1/u^2 und diese Funktion nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (\displaystyle f(0) ist nicht definiert: Division durch Null).

Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion \displaystyle f stetig sein und die innere Funktion \displaystyle u stetig differenzierbar.

[Image]

Graph von f(u) = 1/u²



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