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3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Theorie

Übungen

Inhalt:

Der Moivresche Satz
Quadratische Gleichungen
Exponentialfunktionen
Quadratische Ergänzung

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ und \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten, dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}

Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) gilt daher, dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1 (also, dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.

Beispiel 1

Bestimme \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100} für \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2} .

Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}

aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Vereinfache \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

\displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
\displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
\displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}

B - nte Wurzeln von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl \displaystyle z wird nte Wurzel von \displaystyle w genannt, falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

Ist eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) gegeben, nimmt man an, dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhält so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung mit der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um \displaystyle 2\pi/n unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt und bilden ein n-seitiges Polygon.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.

Wir schreiben \displaystyle z und \displaystyle 16\,i in Polarform

\displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
\displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]

C - Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten (in der \displaystyle r also konstant ist), ergibt sich

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher stammt folgende Definition:

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.

Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da \displaystyle z=a+0\cdot i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}

Beispiel 7

Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.

Wir lassen \displaystyle w = z + i sein. Wir erhalten so die Gleichung \displaystyle \ w^3=-8i\,. Wir bringen als ersten Schritt \displaystyle w und \displaystyle -8i in Polarform

\displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
\displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

also sind \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9

Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.

Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}

Wir sehen direkt, dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln sind also

\displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
\displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
\displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}

D - Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und, dass \displaystyle x=-2\pm 3 und daher \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.

Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.

Beispiel 10

Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2. Daher ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.
Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}

und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.

Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.

Beispiel 11

Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.

Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} auf beiden Seiten addieren

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch, dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.

Beispiel 12

Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13

Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.

Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Erweitern wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 14

Ergänze \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.

Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}

E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen, dass

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.

Beispiel 15

Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.

Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}

und wir erhalten die beiden Gleichungen

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch

\displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
\displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16

Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)

\displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten

\displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt

\displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

Durch die Lösungsformel erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}

indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

\displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}

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