3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[3.3 Powers and roots|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.3 Potenzen und Wurzeln|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.3 Exercises|Exercises]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.3 Übungen|Übungen]]}}
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|}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
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'''Inhalt:'''
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* De Moivre's formula
+
* Der Moivresche Satz
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* Binomial equations
+
* Quadratische Gleichungen
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* Exponential function
+
* Exponentialfunktionen
-
* Euler's formula
+
* Quadratische Ergänzung
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* Completing the square
+
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* Quadratic equations
+
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
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After this section, you will have learned how to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Calculate the powers of complex numbers with de Moivre's formula.
+
* Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
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* Calculate the roots of certain complex numbers by rewriting to polar form.
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* Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
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*Solve binomial equations.
+
* Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
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* Complete the square for complex quadratic expressions.
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* Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.
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* Solve complex quadratic equations.
+
}}
}}
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== De Moivre's formula==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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The computational rules <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> and <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ </math> mean that
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== A - Moivrescher Satz==
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{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
+
Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> und <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten, dass
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For an arbitrary number <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math>, we therefore have the following relationship
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> gilt daher, dass
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
-
If <math>|\,z\,|=1</math>, (i.e. <math>z</math> lies on the unit circle) then one has the special relationship
+
Falls <math>|\,z\,|=1</math> (also, dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
which is usually referred to as ''de Moivres formula''. This relationship is very useful when it comes to deriving trigonometric identities and calculating the roots and powers of complex numbers.
+
Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
If <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, determine <math>z^3</math> and <math>z^{100}</math>.
+
Bestimme <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math> für <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math> .
-
We write <math>z</math> in polar form <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> and Moivre's formula gives
+
Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
 +
Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:
-
In the usual way one does an expansion by means of the squaring rules
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
+
aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:
-
and according to de Moivre's formula one gets
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
+
Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
-
If one equates the real and imaginary parts of the two expressions one gets the well-known trigonometric formulas
 
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
 
+
-
Simplify <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
 
 +
Vereinfache <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
-
We write the numbers <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> and <math>1+i</math> in polar form
+
Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
-
Then we get with de Moivre's formula
+
Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:</math>.}}
-
and this expression can be simplified by performing multiplication and division in polar form
+
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
== Binomial equations ==
+
== B - ''n''te Wurzeln von komplexen Zahlen ==
-
A complex number <math>z</math> is called the ''n''th root of the complex number <math>w</math> if
+
Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
+
-
The above relationship can also be seen as an equation in which <math>z</math> is unknown. This type of equation is called a ''binomial equation''. The solutions are obtained by rewriting both sides in polar form and comparing both the moduli and the arguments.
+
Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.
 +
 
 +
Ist eine Zahl <math> w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
-
For a given number <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> one assumes that <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> and after insertion, the binomial equation becomes
+
wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
+
-
where de Moivres formula has been used on the left-hand side. Equating moduli and arguments gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.
-
Note that we add multiples of <math>2\pi</math> to include all possible values of the argument that have the same direction as <math>\theta</math>. One gets
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
+
Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math> und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math> wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.
-
This gives ''one'' value of <math>r</math>, but infinitely many values of <math>\alpha</math>. Despite this, there are not infinitely many solutions. From <math>k = 0</math> to <math>k = n - 1</math> one gets different arguments for <math>z</math> and thus different positions for <math>z</math> in the complex plane. For the other values of <math>k</math> due to the periodicity of the sine and cosine, one returns to these positions and therefore no new solutions are obtained. This reasoning shows that the equation <math>z^n=w</math> has exactly <math>n</math> roots.
+
Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.
-
''Comment''. Note that the arguments of the roots differ from each other by <math>2\pi/n</math> so that the roots are evenly distributed on a circle with radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> and form corners in a regular ''n-gon'' (an ''n'' sided polygon).
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Beispiel 4'''
-
Solve the binomial equation <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
-
Write <math>z</math> and <math>16\,i</math> in polar form
+
Wir schreiben <math>z</math> und <math>16\,i</math> in Polarform
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
-
This turns the equation <math>\ z^4=16\,i\ </math> into
+
Die Gleichung <math>\ z^4=16\,i\ </math> wird also
-
{{Fristående formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
-
Matching the moduli and arguments on both sides gives
+
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="95%"|
| width="95%"|
-
The solutions to the equation are thus
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
-
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}}
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}}
| width="5%" |
| width="5%" |
-
||{{:3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄}}
+
||{{:3.3 - Bild - Die komplexen Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄}}
|}
|}
</div>
</div>
-
==Exponential form of complex numbers ==
+
== C - Exponentialform der komplexen Zahlen==
-
If we manipulate <math>i</math> as if it were a real number and treat a complex number <math>z</math> as a function of just <math>\alpha</math> ( where <math>r</math> is a constant),
 
-
{{Fristående formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
+
Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist), ergibt sich
-
we get after differentiation
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
+
und wir erhalten durch wiederholte Ableitung
-
The only real-valued functions which behave like this are <math>f(x)= e^{\,kx}</math>, which justifies the definition
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
+
Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher stammt folgende Definition:
-
+
-
This definition turns out to be a completely natural generalisation of the exponential function for the real numbers. Putting <math>z=a+ib</math> one gets
+
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
-
The definition of <math>e^{\,z}</math> may be regarded as a convenient notation for the polar form of a complex number, as <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
+
Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
 +
Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir
-
For a real number <math>z</math> the definition is consistent with the case when the exponent is real, as <math>z=a+0\cdot i</math> which gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
 
+
-
A further indication of why the above definition is so natural is given by the relationship
+
Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.
-
{{Fristående formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}</math>}}
-
which demonstrates that de Moivre's formula is actually identical to the well-known law of exponents,
+
Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.
-
{{Fristående formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
From the above definition, one can obtain the relationship
+
Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel
-
{{Fristående formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
-
which connects together the, generally regarded, most basic numbers in mathematics: <math>e</math>, <math>\pi</math>, <math>i</math> and 1.
+
Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.
-
This relationship is seen by many as the most beautiful in mathematics and was discovered by Euler in the early 1700's.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
 +
Löse die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
-
Solve the equation <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
 
-
 
+
Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als ersten Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform
-
Put <math>w = z + i</math>. We then get the binomial equation <math>\ w^3=-8i\,</math>. To begin with, we rewrite <math>w</math> and <math>-8i</math> in polar form
+
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
-
The equation in polar form is <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math> and matching the moduli and arguments on both sides gives,
 
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The roots of the equation are thus
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-
i.e. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> and <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
+
also sind <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
-
Solve <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
-
If for <math>z=a+ib</math> one has <math>|\,z\,|=r</math> and <math>\arg z = \alpha</math> then for <math>\overline{z}= a-ib</math> one gets <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> and <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>.This means that <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> and <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. The equation can be written
+
Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also
-
{{Fristående formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}</math>}}
-
which directly gives that <math>r=0</math> is a solution, i.e. <math>z=0</math>. If we assume that <math>r\not=0</math> then the equation can be written as <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, which gives after matching moduli and arguments
+
Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The solutions are
+
Die Wurzeln sind also
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
Zeile 262: Zeile 259:
-
== Completing the square ==
+
== D - Quadratische Ergänzung ==
-
The squaring rules,
+
Die wohlbekannten Regeln
-
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
-
which are usually used to expand parenthesis can also be used in reverse to obtain quadratic expressions. For example,
+
können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This can be used to solve quadratic equations, for example,
+
Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Taking roots then gives that <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> and thus that <math>x=-2\pm 3</math>, i.e. <math>x=1</math> or <math>x=-5</math>.
+
Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und, dass <math>x=-2\pm 3</math> und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.
-
Sometimes it is necessary to add or subtract an appropriate number to obtain a suitable expression. The above equation, for example, could just as easily been presented to us as
+
Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
-
By adding 9 to both sides, we get a suitable expression on the left side:
+
Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This method is called ''completing the square''.
+
Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The coefficient in front of <math>x</math> is <math>-6</math> and it shows that we must have the number <math>(-3)^2=9</math> as the constant term on the left-hand side to make a complete square. By adding <math>2</math> to both sides we achieve this:
+
Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Taking roots then gives <math>x-3=\pm 2</math>, which means that <math>x=1</math> or <math>x=5</math>.
+
Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>. Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
</li>
</li>
-
<li> Solve the equation <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The equation can be written as <math>z^2+8z+17=0</math>. By subtracting 1 on both sides, we get a complete square on the left-hand side:
+
Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}</math>}}
-
 
+
und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
-
and thus <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. In other words, the solutions are <math>z=-4-i</math> and <math>z=-4+i</math>.
+
</li>
</li>
</ol>
</ol>
Zeile 317: Zeile 313:
</div>
</div>
-
Generally, completing the square may be regarded as arranging that "the square of half the coefficient of the ''x-term''" is the constant term in the quadratic expression. This term can always be added to the two sides without worrying about the other terms and then manipulating the equation. If the coefficients of the expression are complex numbers, one still can go about it in the same way.
+
Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Solve the equation <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
-
Half the coefficient of <math>x</math> is <math>-\tfrac{4}{3}</math>. We thus add <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> to both sides
+
Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Now it's easy to get to <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> and thus to get that <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, i.e. <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> or <math>x=3</math>.
+
Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch, dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
Solve the equation <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
-
Completing the square gives
+
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This gives the usual formula, ''pq-formula'', for solutions to quadratic equations
+
Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
-
{{Fristående formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 13'''
+
''' Beispiel 13'''
-
Solve the equation <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
-
Half the coefficient of <math>z</math> is <math>-(6+2i)</math> so we add the square of this expression to both sides
 
-
{{Fristående formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
+
Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>. Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung
-
Expanding the square on the right-hand side <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> and completing the square on the left-hand side gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir
-
After a taking roots, we have that <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> and therefore the solutions are <math>z=12+2i</math> and <math>z=2i</math>.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 
 +
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
</div>
</div>
-
If one wants to bring about a square in an expression one can use the same technique. In order not to change the value of the expression one both adds and subtracts the missing constant term, such as in the following,
+
Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 14'''
+
''' Beispiel 14'''
-
Complete the square in the expression <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math>.
+
Ergänze <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch.
-
Add and subtract the term <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math>,
+
Wir subtrahieren und addieren <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math> vom Ausdruck,
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
==Solving using a formula==
+
== E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel==
-
To solve quadratic equations sometimes the simplest method is to use the usual formula for quadratic equations. However, this may lead to that one ends up with terms of the type <math>\sqrt{a+ib}</math>. One can then assume
+
Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen, dass
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{{Fristående formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
-
By squaring both sides we get
+
Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Matching the real and imaginary parts gives
+
Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
-
These equations can be solved by substitution, for example, <math>y= b/(2x)</math> can be inserted in the first equation.
+
Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung ersetzt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 15'''
+
''' Beispiel 15'''
-
Calculate <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
+
Berechne <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
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Put <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> where <math>x</math> and <math>y</math> are real numbers. Squaring both sides gives
+
Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math>, wobei <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}</math>}}
-
which leads to the system of equations
+
und wir erhalten die beiden Gleichungen
-
{{Fristående formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
From the second equation, we can solve for <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math> and put it into the first equation to get
+
Von der zweiten Gleichung erhalten wir <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>. Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt
-
{{Fristående formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
This is a quadratic equation in <math>x^2</math> which can be seen more easily by putting <math>t=x^2</math>,
+
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren
-
{{Fristående formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
The solutions are <math>t = 1</math> and <math>t = -4</math>. The latter solution must be rejected, as <math>x</math> and <math>y</math> have been assumed to be real numbers, and thus <math>x^2=-4</math> cannot be true. We get <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, which gives us two possible solutions
+
Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math> und dadurch
-
* <math>\ x=-1\ </math> which gives <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
+
* <math>\ x=-1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
-
* <math>\ x=1\ </math> which gives <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
+
* <math>\ x=1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
-
So we can conclude that
+
Also ist
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 16'''
+
''' Beispiel 16'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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The formula for solutions to a quadratic equations (see example 3) gives that
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Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
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{{Fristående formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
-
<li> Solve the equation <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
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Here, once again , the ''pq''-formula may be used giving the solutions directly
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Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
-
<li> Solve the equation <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
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-
Division of both sides with <math>i</math> gives
+
Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Applying the ''pq''- formula gives
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Durch die Lösungsformel erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
where we used the resulting value of<math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> which we obtained in example 15. The solutions are therefore
+
indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
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{{Fristående formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der Moivresche Satz
  • Quadratische Gleichungen
  • Exponentialfunktionen
  • Quadratische Ergänzung

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
  • Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
  • Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
  • Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ und \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten, dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}


Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) gilt daher, dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1 (also, dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Bestimme \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100} für \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2} .


Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}

aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3


Vereinfache \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


B - nte Wurzeln von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl \displaystyle z wird nte Wurzel von \displaystyle w genannt, falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

Ist eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) gegeben, nimmt man an, dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhält so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung mit der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um \displaystyle 2\pi/n unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt und bilden ein n-seitiges Polygon.


Beispiel 4


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Wir schreiben \displaystyle z und \displaystyle 16\,i in Polarform

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


C - Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten (in der \displaystyle r also konstant ist), ergibt sich

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher stammt folgende Definition:

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da \displaystyle z=a+0\cdot i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}

Beispiel 7


Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Wir lassen \displaystyle w = z + i sein. Wir erhalten so die Gleichung \displaystyle \ w^3=-8i\,. Wir bringen als ersten Schritt \displaystyle w und \displaystyle -8i in Polarform

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

also sind \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}

Wir sehen direkt, dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln sind also

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


D - Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und, dass \displaystyle x=-2\pm 3 und daher \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.


Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.


Beispiel 10

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

    Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2. Daher ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.

  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}

    und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.

Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Beispiel 11


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} auf beiden Seiten addieren

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch, dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.

Beispiel 12


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.



Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Erweitern wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Beispiel 14


Ergänze \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.


Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen, dass

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.


Beispiel 15


Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}

und wir erhalten die beiden Gleichungen

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch

  • \displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16


  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

    Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

    Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

    Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Durch die Lösungsformel erhalten wir

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}

    indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}



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