3.4 Komplexe Polynome

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Vald flik|[[3.4 Komplexa polynom|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.4 Komplexe Polynome|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.4 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.4 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* Faktorsatsen
+
* Polynomdivision
-
* Polynomdivision
+
* Fundamentalsatz der Algebra
-
* Algebrans fundamentalsats
+
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
* Utföra polynomdivision.
+
* Wie man die Polynomdivision ausführt.
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* Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
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* In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
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* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
+
* Ein Polynom mit Grad ''n'' hat ''n'' Nullstellen.
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* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
+
* Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.
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}}
+
}}
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== Polynom och ekvationer ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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Ett uttryck på formen
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== A - Polynome ==
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{{Fristående formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
+
 
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Ausdrücke in der Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math> ,}}
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där <math>n</math> är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad <math>n</math> i en obestämd variabel <math>x</math>. Talet <math>a_1</math> kallas koefficienten för <math>x</math>, <math>a_2</math> koefficienten för <math>x^2</math>, etc. Konstanten <math>a_0</math> kallas ''konstanttermen''.
+
wobei <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' vom Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.
-
Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
+
Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
 
+
-
Jämför följande heltal skrivet i basen 10,
+
Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10
-
{{Fristående formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math> .}}
-
med ett polynom i <math>x</math>
+
mit dem Polynom <math>p(x)</math>
-
{{Fristående formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
-
och sedan följande divisioner,
+
und dann den folgenden Divisionen
-
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> eftersom <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
+
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> da <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
-
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> eftersom <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
+
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> da <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
</div>
</div>
-
Om <math>p(x)</math> är ett polynom av grad <math>n</math> så kallas <math>p(x)=0</math> en ''polynomekvation'' av grad <math>n</math>. Om <math>x=a</math> är ett tal sådant att <math>p(a)=0</math> så kallas <math>x=a</math> en ''rot'', eller lösning till ekvationen. Man säger också att <math>x=a</math> är ett ''nollställe'' till <math>p(x)</math>.
+
Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' vom Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
-
Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. <math>37</math> divideras med <math>5</math>, får man
+
Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
-
Uträkningen kan även skrivas <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
+
Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' genannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
-
Om <math>p(x)</math> och <math>q(x)</math> är polynom så kan man på liknande sätt dividera <math>p(x)</math> med <math>q(x)</math> och entydigt bestämma polynom <math>k(x)</math> och <math>r(x)</math> så att
+
Gleichermassen gilt, dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
-
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)} </math>}}
-
eller <math>\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,</math>. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten <math>k(x)</math> och resten <math>r(x)</math>.
+
oder <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. Man sagt hier, dass <math>k(x)</math> der Quotient ist, und <math>r(x)</math> der Rest.
 +
Falls der Rest null wird, also wenn <math>r(x)=0</math>, sagt man, dass <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilbar ist oder, dass <math>q(x)</math> ein ''Teiler'' von <math>p(x)</math> ist. Man Schreibt
-
Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om <math>r(x)=0</math> så är <math>p(x)</math> delbart med <math>q(x)</math>, eller, <math>q(x)</math> är en ''delare'' till <math>p(x)</math>. Man skriver
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x) </math>}}
 +
oder <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
 
-
eller <math>\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,</math>.
 
 +
== B - Polynomdivision ==
-
== Polynomdivision ==
+
Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
-
 
+
-
Om <math>p(x)</math> är ett polynom med högre grad än polynomet <math>q(x)</math> så kan man dividera <math>p(x)</math> med <math>q(x)</math>. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multipler av <math>q(x)</math> från <math>p(x)</math> tills den återstående täljaren har lägre grad än <math>q(x)</math> i nämnaren.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Utför polynomdivisionen <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math>.
+
Berechne <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.
-
Det första steget är att vi ''lägger till och drar ifrån'' en lämplig <math>x^2</math>-term i täljaren
+
Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden <math>x^2</math>-Term zum Zähler ''addieren und subtrahieren''
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket <math>x^3+2x^2</math> skrivas som <math>x^2(x+2)</math> och förkortas med nämnaren
+
Dieser Term ist so gewählt, weil <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig <math>x</math>-term så att den ledande <math>x^2</math>-termen i täljaren kan förkortas bort
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term im Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant
+
Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler
-
{{Fristående formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Alltså gäller att
+
und wir erhalten
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Kvoten är <math>x^2 -x + 1</math> och resten är <math>2</math>. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. <math>q(x)= x+2</math> är inte en ''delare'' till <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
+
 
 +
Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Da der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> kein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
 +
 
 +
Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:
 +
 
 +
<math>\phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}</math>
 +
 
 +
<math>\underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>
 +
 
 +
<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}</math>
 +
 
 +
<math> \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2</math>
</div>
</div>
-
== Samband mellan faktorer och nollställen ==
+
== C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==
-
Om <math>q(x)</math> är en delare till <math>p(x)</math> så gäller alltså att <math>p(x)=k(x)\cdot q(x)</math>. Vi har därmed ''faktoriserat'' <math>p(x)</math> . Man säger att <math>q(x)</math> är en faktor i <math>p(x)</math>. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet <math>(x-a)</math> är en delare till <math>p(x)</math> så är <math>(x-a)</math> en faktor i <math>p(x)</math> , dvs.
+
Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders
 +
wenn ein Polynom <math>(x-a)</math> mit dem Grad 1 ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, dann ist <math>(x-a)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also
-
{{Fristående formel||<math>p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
-
Eftersom <math>\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ </math> så betyder detta att <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen''.
+
Da <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math>, bedeutet dies, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Faktorsatsen:'''
+
<math>(x-a)</math> ist ein Teiler vom Polynom <math>p(x)</math> genau dann, wenn <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
-
 
+
-
<math>(x-a)</math> är en delare till polynomet <math>p(x)</math> om och endast om <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>.
+
</div>
</div>
-
Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math> så vet man automatiskt att <math>p(x)</math> är delbart med <math>(x-a)</math>.
+
Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist, wissen wir also auch, dass <math>p(x)</math> durch <math>(x-a)</math> teilbar ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
 
+
-
Polynomet <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kan faktoriseras som
 
-
{{Fristående formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
+
Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann so
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
-
och har därför nollställena <math>x=2</math> och <math>x=4</math> (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math>.
+
in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen <math>x=2</math> und <math>x=4</math> (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math> lösen.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2-3x-10\,</math>.
+
<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> hat die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
-
Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> har lösningarna
+
also <math>x=-2</math> und <math>x=5</math>. Daher ist <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
+
-
 
+
-
dvs. <math>x=-2</math> och <math>x=5</math>. Detta betyder att <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
+
</li>
</li>
-
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2+6x+9\,</math>.
+
<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
-
Detta polynom har en dubbelrot
+
und daher ist <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
+
-
 
+
-
och därmed är <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
+
</li>
</li>
-
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2 -4x+5\,</math>.
+
<li>Zerlege das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
-
 
+
<br>
-
 
+
<br>
-
I detta fall har polynomet två komplexa rötter
+
Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
-
{{Fristående formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
-
och faktoriseringen blir <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
+
und die Faktoren sind daher<math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
</li>
</li>
Zeile 183: Zeile 197:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena <math>1</math> , <math>-1</math> och <math>3</math>.
+
Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Das Polynom hat die Faktoren <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> und <math>(x-3)</math>. Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
-
Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> och <math>(x-3)</math>. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom
+
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
+
</div>
</div>
-
== Algebrans fundamentalsats ==
+
== D - Fundamentalsatz der Algebra ==
-
Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen <math>x^2=-1</math> och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande:
+
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Varje polynom av grad <math>n\ge1</math> med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
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'''Fundamentalsatz der Algebra'''
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Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
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Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
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Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
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<div class="regel">
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Varje polynom av grad <math>n\ge1</math> har exakt <math>n</math> stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet''.
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Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
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(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)
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(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)
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Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.
+
Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 6'''
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''' Beispiel 6'''
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Visa att polynomet <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> har nollställena <math>x=i</math> och <math>x = 2-i</math>. Bestäm därefter övriga nollställen.
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Zeige, dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. Bestimme damit alle Nullstellen.
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Vi har att
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Gegeben ist
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma
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Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Detta ger att
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Dies ergibt
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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vilket visar att <math>i</math> och <math>2-i</math> är nollställen till polynomet.
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und daher sind <math>i</math> und <math>2-i</math> Nullstellen des Polynoms.
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Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är <math>z=-i</math> och <math>z=2+i</math>.
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Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also <math>z=-i</math> und <math>z=2+i</math>.
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En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.
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Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.
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<div class="exempel">
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'''Exempel 7'''
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''' Beispiel 7'''
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Zeige, dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome und zerlegen sie dann <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.
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Visa att <math>x=1</math> är ett nollställe till <math>p(x)= x^3+x^2-2</math>. Faktorisera därefter <math>p(x)</math> i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
 
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Da <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math>, ist <math>x=1</math> eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher <math>x-1</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also ist <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math> teilbar. Wir teilen daher <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math>
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Vi har att <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math> vilket visar att <math>x=1</math> är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att <math>x-1</math> är en faktor i <math>p(x)</math>, dvs. att <math>p(x)</math> är delbar med <math>x-1</math>. Vi delar därför polynomet med <math>x-1</math> för att få återstående faktor om <math>x-1</math> bryts ut ur polynomet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Also ist <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>. Das ist die Antwort auf die erste Frage.
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Alltså har vi att <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>.
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Nu återstår att faktorisera <math>x^2+2x+2</math>. Ekvationen <math>x^2+2x+2=0</math> har lösningarna
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Jetzt müssen wir nur noch <math>x^2+2x+2</math> in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung <math>x^2+2x+2=0</math> hat die Lösungen
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{{Fristående formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
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och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer
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und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Polynomdivision
  • Fundamentalsatz der Algebra

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man die Polynomdivision ausführt.
  • In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
  • Ein Polynom mit Grad n hat n Nullstellen.
  • Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Polynome

Ausdrücke in der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0 ,

wobei \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome vom Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.


Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.


Beispiel 1

Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10

\displaystyle 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 .

mit dem Polynom \displaystyle p(x)

\displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3

und dann den folgenden Divisionen

  • \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad da \displaystyle \ 1353= 123\cdot 11\,,
  • \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad da \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.

Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom vom Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung vom Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Man kann auch schreiben, dass \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient genannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.


Gleichermassen gilt, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}

oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier, dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0, sagt man, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist oder, dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Man Schreibt

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)

oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.


B - Polynomdivision

Wenn \displaystyle p(x) einen Grad hat, der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..


Beispiel 2


Berechne \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\, durch Polynomdivision.


Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden \displaystyle x^2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Dieser Term ist so gewählt, weil \displaystyle x^3+2x^2als \displaystyle x^2(x+2) geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor \displaystyle (x+2) kürzen können.

\displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden \displaystyle x-Term im Zähler, sodass wir den \displaystyle x^2-Term beseitigen

\displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler

\displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

und wir erhalten

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}


Der Quotient ist also \displaystyle x^2 -x + 1 und der Rest ist \displaystyle 2. Da der Rest nicht null ist, ist \displaystyle q(x)= x+2 kein Teiler von \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.

Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:

\displaystyle \phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}

\displaystyle \underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x

\displaystyle \phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2


C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt, dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x), also

\displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}

Da \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ , bedeutet dies, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann, wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.


Beispiel 3


Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann so

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.

Beispiel 4


  1. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.

    Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    also \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    und die Faktoren sind daher\displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Beispiel 5


Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.

Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


D - Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den Fundamentalsatz der Algebra:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.

(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)


Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.


Beispiel 6


Zeige, dass das Polynom \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 die Nullstellen \displaystyle x=i und \displaystyle x = 2-i hat. Bestimme damit alle Nullstellen.


Gegeben ist

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

Dies ergibt

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

und daher sind \displaystyle i und \displaystyle 2-i Nullstellen des Polynoms.


Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also \displaystyle z=-i und \displaystyle z=2+i.

Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.


Beispiel 7

Zeige, dass \displaystyle x=1 eine Nullstelle von \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2 ist. Zerlegen Sie danach \displaystyle p(x) in reelle Polynome und zerlegen sie dann \displaystyle p(x) in lineare Faktoren.


Da \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ , ist \displaystyle x=1 eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher \displaystyle x-1 ein Faktor von \displaystyle p(x), also ist \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1 teilbar. Wir teilen daher \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

Also ist \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,. Das ist die Antwort auf die erste Frage.


Jetzt müssen wir nur noch \displaystyle x^2+2x+2 in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung \displaystyle x^2+2x+2=0 hat die Lösungen

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}



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