3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen

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{{Mall:Vald flik|[[3.1 Räkning med komplexa tal|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[3.1 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.1 Übungen|Übungen]]}}
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|}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Real- och imaginärdel
+
* Real- und Imaginärteil
-
* Addition och subtraktion av komplexa tal
+
* Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
-
* Komplexkonjugat
+
* Komplexe Konjugation
-
* Multiplikation och division av komplexa tal
+
* Multiplikation und Division von komplexen Zahlen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
 
+
-
* Beräkna uttryck som innehåller komplexa tal och är uppbyggda av de fyra räknesätten.
+
-
* Lösa komplexa förstagradsekvationer och förenkla svaret.
+
 +
* Wie man komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfacht.
 +
* Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.
}}
}}
-
== Inledning ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
De reella talen utgör en fullständig mängd av tal i den meningen att de fyller tallinjen, dvs. det finns inga "hål" i den reella tallinjen. Trots detta räcker de reella talen inte till som lösningar till alla algebraiska ekvationer, dvs. det finns ekvationer av typen
+
== A - Einführung ==
-
{{Fristående formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
+
Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form
-
som inte har någon lösning bland de reella talen. Exempelvis har ekvationen <math>x^2+1=0</math> ingen reell lösning, eftersom inget reellt tal uppfyller att <math>x^2=-1</math>. Om vi däremot kan tänka oss <math>\sqrt{-1}</math> som det tal som uppfyller ekvationen <math>x^2=-1</math> och tillåter oss att räkna med <math>\sqrt{-1}</math> som vilket tal som helst, så visar det sig att alla algebraiska ekvationer har lösningar.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
-
Talet <math>\sqrt{-1}</math> är alltså inget reellt tal; vi kan inte gå ut i naturen och uppmäta <math>\sqrt{-1}</math> någonstans, eller hitta något som är <math>\sqrt{-1}</math> till antalet, men vi kan ändå ha nytta av talet i högst reella sammanhang.
+
haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung <math>x^2+1=0</math> keine reellen Lösungen, weil keine reelle Zahl <math>x^2=-1</math> erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir <math>\sqrt{-1}</math> als die Zahl definieren, die die Gleichung <math>x^2=-1</math> erfüllt und so rechnen als wäre <math>\sqrt{-1}</math> eine normale Zahl.
 +
Obwohl die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen <math>x^2-2x+2=0</math> så får vi först lösningarna <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> och <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet <math>\sqrt{-1}</math>. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med <math>\sqrt{-1}</math> så ser vi att summan av <math>x_1</math> och <math>x_2</math> blir <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math>, alltså ett högst reellt tal.
+
Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die Nullstellen <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese Lösungen enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.
-
För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.
+
Wir haben die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.
</div>
</div>
-
== Definition av komplexa tal ==
+
== B - Definition der komplexen Zahlen ==
 +
 
 +
Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.
-
Man inför den ''imaginära enheten'' <math>i=\sqrt{-1}</math> och definierar ett ''komplext tal'' som ett objekt som kan skrivas på formen
+
Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen der Form <math>bi</math>, mit <math>b</math> reell, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl der Form
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>z=a+bi\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=a+bi\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
där <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal, och <math>i</math> uppfyller <math>i^2=-1</math>.
+
wobei <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.
-
Om <math>a = 0</math> så kallas talet "rent imaginärt". Om <math>b = 0</math> så är talet reellt. Vi ser här att de reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen betecknas med '''C'''.
+
Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit <math> \Bbb{C} </math> bezeichnen.
-
För ett godtyckligt komplext tal använder man ofta beteckningen <math>z</math>. Om <math>z=a+bi</math>, där <math>a</math> och <math>b</math> är reella, så kallas <math>a</math> för realdelen och <math>b</math> för imaginärdelen av <math>z</math>. Man använder följande skrivsätt:<br\>
+
Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} (z)\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} (z)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
När man räknar med komplexa tal gör man i princip som med de reella talen, men håller reda på att <math>i^2=-1</math>.
+
Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass <math>i^2=-1</math>.
-
== Addition och subtraktion ==
+
== C - Addition und Subtraktion ==
-
Vid addition och subtraktion av komplexa tal lägger man ihop (drar ifrån) realdel och imaginärdel var för sig. Om <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> är två komplexa tal gäller alltså att
+
Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.
 +
 
 +
Wenn <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> zwei komplexe Zahlen sind, dann ist
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 81: Zeile 85:
= \tfrac{1}{3}-i</math></li>
= \tfrac{1}{3}-i</math></li>
<li> <math>\frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10}
<li> <math>\frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10}
-
= \frac{-9+9i}{10} = -0{,}9 + 0{,}9i</math></li>
+
= \frac{-9+9i}{10} = -0\textrm{.}9 + 0\textrm{.}9i</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
== Multiplikation ==
+
== D - Multiplikation ==
-
Komplexa tal multipliceras som vanliga reella tal eller algebraiska uttryck, med tillägget att <math>i^2=-1</math>. Generellt gäller för två komplexa tal <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> att
+
Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math>, dass
-
<div class="regel">{{Fristående formel||<math>z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
+
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 108: Zeile 112:
-
== Komplexkonjugat ==
+
== E - Komplexe Konjugation ==
-
Om <math>z=a+bi</math> så kallas <math>\overline{z} = a-bi</math> det ''komplexa konjugatet'' till <math>z</math> (omvänt gäller också att <math>z</math> är konjugatet till <math>\overline{z}</math>). Man får då sambanden
+
Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
men kanske framför allt, pga. konjugatregeln, att
+
Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, folgendes erhält
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>z\cdot \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
dvs. att produkten av ett komplext tal och dess konjugat är alltid reell.
+
Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z\, \bar z \in \Bbb{R} </math> }}
 +
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>z=5+i\qquad</math> då är <math>\quad\overline{z}=5-i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=5+i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z}=5-i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=-3-2i\qquad</math> då är <math>\quad\overline{z} =-3+2i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=-3-2i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =-3+2i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=17\qquad</math> då är <math>\quad\overline{z} =17\,</math>.</li>
+
<li><math>z=17\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =17\,</math>.</li>
-
<li><math>z=i\qquad</math> då är <math>\quad\overline{z} =-i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =-i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=-5i\qquad</math> då är <math>\quad\overline{z} =5i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=-5i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =5i\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Om <math>z=4+3i</math> då gäller att
+
<li> Wenn <math>z=4+3i</math> erhält man
*<math>z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8</math>
*<math>z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8</math>
*<math>z-\overline{z} = 6i</math>
*<math>z-\overline{z} = 6i</math>
-
*<math>z \cdot \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25</math>
+
*<math>z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25</math>
</li>
</li>
-
<li> För <math>z</math> gäller att <math>\mathop{\rm Re} z=-2</math>
+
<li> Wenn man für <math>z</math> <math>\mathop{\rm Re} z=-2</math>
-
och <math>\mathop{\rm Im} z=1</math>, och får vi att
+
und <math>\mathop{\rm Im} z=1</math> einsetzt, erhält man
*<math>z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4</math>
*<math>z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4</math>
*<math>z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i</math>
*<math>z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i</math>
-
*<math>z\cdot \overline{z} = (-2)^2+1^2=5</math>
+
*<math>z\, \overline{z} = (-2)^2+1^2=5</math>
</li>
</li>
</ol>
</ol>
Zeile 156: Zeile 163:
-
== Division ==
+
== F - Division ==
-
När man dividerar två komplexa tal med varandra förlänger man med nämnarens konjugat och utnyttjar härigenom att nämnaren då blir ett reellt tal. Därefter kan såväl realdel som imaginärdel i täljaren divideras med detta tal. Generellt, om <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math>:
+
Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in \Bbb{R} </math> , erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
+
<li><math>\quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
-
= \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i</math></li>
+
= \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i</math></li><br><br>
<li><math>\quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}
<li><math>\quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}
-
= \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i</math></li>
+
= \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i</math></li><br><br>
<li><math>\quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}
<li><math>\quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}
= \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i</math></li>
= \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i</math></li>
Zeile 178: Zeile 185:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}
<li><math>\quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}
= \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}
= \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}
-
= \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}</math><br/>
+
= \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}
<math>\quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}
= \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}
= \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}
Zeile 191: Zeile 198:
+ \dfrac{i}{2+i}}
+ \dfrac{i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}}
-
= \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}</math><br/>
+
= \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
= \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}
= \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}
= \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)}
= \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)}
-
= \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br/>
+
= \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
= \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}
= \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}
-
= \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
= \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
= \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}</math></li>
= \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}</math></li>
Zeile 206: Zeile 213:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Bestäm det reella talet <math>a</math> så att uttrycket <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> blir reellt.
+
Bestimme die reelle Zahl <math>a</math> so, dass der Ausdruck <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> reell ist.
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
-
Förläng med nämnarens konjugat så att uttrycket kan skrivas med separata real- och imaginärdelar
+
Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
-
Om uttrycket ska bli reellt så måste imaginärdelen vara 0, dvs.
+
Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also
-
{{Fristående formel||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Ekvationer ==
+
== G - Gleichungen ==
-
För att två komplexa tal <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> ska vara lika, krävs att både real- och imaginärdel är lika, dvs. att <math>a=c</math> och <math>b=d</math>. När man söker ett okänt komplext tal <math>z</math> i en ekvation kan man antingen försöka lösa ut talet <math>z</math> på vanligt vis, eller sätta in <math>z=a+bi</math> i ekvationen och därefter jämföra real- och imaginärdelar i ekvationens båda led med varandra.
+
Wenn zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist <math>a=c</math> und <math>b=d</math>. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten <math>z</math> löst, schreibt man oft <math>z=a+bi</math> und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Lös ekvationen <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
Samla <math>z</math> i vänsterledet genom att subtrahera båda led med <math>z</math>
+
Wir sammeln alle <math>z</math> auf der linken Seite der Gleichung, indem wir <math>z</math> von beiden Seiten subtrahieren
-
{{Fristående formel||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}}
-
och subtrahera sedan med <math>1-i</math>
+
-
{{Fristående formel||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Detta ger att <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
+
-
<li> Lös ekvationen <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
+
Jetzt subtrahieren wir <math>1-i</math> von beiden Seiten,
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Also ist <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
 +
 
 +
<li> Löse die Gleichung <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
Dela båda led med <math>-1-i</math> för att få fram <math>z</math>
+
Wir dividieren beide Seiten durch <math>-1-i</math> um <math>z</math> zu erhalten.
-
{{Fristående formel||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Lös ekvationen <math>3iz-2i=1-z</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>3iz-2i=1-z</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
Adderar vi <math>z</math> och <math>2i</math> till båda led fås
+
Wir addieren <math>z</math> und <math>2i</math> auf beiden Seiten und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Detta ger att
+
-
{{Fristående formel||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
-
<li> Lös ekvationen <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
 +
Das ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
 +
 
 +
<li> Löse die Gleichung <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
I ekvationen förekommer <math>z</math> också som <math>\overline{z}</math> och därför skriver vi <math>z</math> som <math>z=a+ib</math> och löser ekvationen för <math>a</math> och <math>b</math> genom att sätta real- och imaginärdel av båda led lika
+
Die Gleichung enthält <math>z</math> und <math>\overline{z}</math>. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass <math>z=a+ib</math> und die Gleichung für <math>a</math> und <math>b</math> lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren. {{Abgesetzte Formel||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
+
Also
-
dvs.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
+
das ergibt
-
vilket ger att
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
+
Die Antwort ist daher <math>z=2+i</math>.</li>
-
Svaret är alltså <math>z=2+i</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
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<div class="inforuta">
<div class="inforuta">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Tipps fürs Lernen '''
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'''Tänk på att:'''
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'''Beachte folgendes:'''
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Räkning med komplexa tal fungerar på samma sätt som med vanliga tal förutom att <math>i^2=-1</math>.
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Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass <math>i^2=-1</math>.
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Kvoter av komplexa tal räknas ut genom att förlänga bråket med nämnarens komplexkonjugat.
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Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Real- und Imaginärteil
  • Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation
  • Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfacht.
  • Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung \displaystyle x^2+1=0 keine reellen Lösungen, weil keine reelle Zahl \displaystyle x^2=-1 erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir \displaystyle \sqrt{-1} als die Zahl definieren, die die Gleichung \displaystyle x^2=-1 erfüllt und so rechnen als wäre \displaystyle \sqrt{-1} eine normale Zahl. Obwohl die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.


Beispiel 1

Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung \displaystyle x^2-2x+2=0 suchen, finden wir zuerst die Nullstellen \displaystyle x_1=1+\sqrt{-1} und \displaystyle x_2=1-\sqrt{-1}. Diese Lösungen enthalten \displaystyle \sqrt{-1}. Wenn wir ganz normal mit \displaystyle \sqrt{-1} rechnen, sehen wir, dass die Summe von \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 \displaystyle 1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2 eine ganz normale reelle Zahl ist.

Wir haben die "imaginäre" Zahl \displaystyle \sqrt{-1} verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.


B - Definition der komplexen Zahlen

Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1}) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1} entstanden.

Da die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei \displaystyle \sqrt{2} möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich \displaystyle i (oder manchmal auch \displaystyle j). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen der Form \displaystyle bi, mit \displaystyle b reell, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form

\displaystyle z=a+bi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle a und \displaystyle b reelle Zahlen sind und \displaystyle i die Gleichung \displaystyle i^2=-1 erfüllt.

Wenn \displaystyle a = 0 nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn \displaystyle b = 0 ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit \displaystyle \Bbb{C} bezeichnen.

Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit \displaystyle z. Wenn \displaystyle z=a+bi, wobei \displaystyle a und \displaystyle b reell sind, ist \displaystyle a der Realteil und \displaystyle b der Imaginärteil von \displaystyle z. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen

\displaystyle \begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} (z)\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} (z)\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass \displaystyle i^2=-1.


C - Addition und Subtraktion

Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.

Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di zwei komplexe Zahlen sind, dann ist

\displaystyle \begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

  1. \displaystyle (3-5i)+(-4+i)=-1-4i
  2. \displaystyle \bigl(\tfrac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{6}+3i\bigr) = \tfrac{1}{3}-i
  3. \displaystyle \frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10} = \frac{-9+9i}{10} = -0\textrm{.}9 + 0\textrm{.}9i


D - Multiplikation

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass \displaystyle i^2=-1. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di, dass

\displaystyle z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3(4-i)=12-3i
  2. \displaystyle 2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i
  3. \displaystyle (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i
  4. \displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13
  5. \displaystyle (3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i
  6. \displaystyle i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1
  7. \displaystyle i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i


E - Komplexe Konjugation

Wenn \displaystyle z=a+bi nennt man \displaystyle \overline{z} = a-bi die zu \displaystyle z konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass \displaystyle z die konjugiert komplexe Zahl von \displaystyle \overline{z} ist). Man erhält dadurch folgende Regeln

\displaystyle \begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}

Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, folgendes erhält

\displaystyle z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}

Das Produkt einer komplexen Zahl \displaystyle z mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl \displaystyle \overline{z} ist also immer reell

\displaystyle z\, \bar z \in \Bbb{R}


Beispiel 4

  1. \displaystyle z=5+i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z}=5-i\,.
  2. \displaystyle z=-3-2i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =-3+2i\,.
  3. \displaystyle z=17\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =17\,.
  4. \displaystyle z=i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =-i\,.
  5. \displaystyle z=-5i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =5i\,.

Beispiel 5

  1. Wenn \displaystyle z=4+3i erhält man
    • \displaystyle z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8
    • \displaystyle z-\overline{z} = 6i
    • \displaystyle z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25
  2. Wenn man für \displaystyle z \displaystyle \mathop{\rm Re} z=-2 und \displaystyle \mathop{\rm Im} z=1 einsetzt, erhält man
    • \displaystyle z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4
    • \displaystyle z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i
    • \displaystyle z\, \overline{z} = (-2)^2+1^2=5


F - Division

Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil \displaystyle z \bar z \in \Bbb{R} , erhält man einen reellen Nenner. Für \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gilt im Allgemeinen:

\displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i

Beispiel 6

  1. \displaystyle \quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i


  2. \displaystyle \quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i


  3. \displaystyle \quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i

Beispiel 7

  1. \displaystyle \quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i} = \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}


    \displaystyle \quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{} = \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10} = \frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \quad\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i}{1-i}-\dfrac{2}{1-i}}{\dfrac{2i(2+i)}{(2+i)} + \dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}} = \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}


    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i} = \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}


    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)} = \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}

    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}

Beispiel 8

Bestimme die reelle Zahl \displaystyle a so, dass der Ausdruck \displaystyle \ \frac{2-3i}{2+ai}\ reell ist.

Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.

\displaystyle \frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}

Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also

\displaystyle 2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}


G - Gleichungen

Wenn zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist \displaystyle a=c und \displaystyle b=d. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten \displaystyle z löst, schreibt man oft \displaystyle z=a+bi und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.

Beispiel 9

  1. Löse die Gleichung \displaystyle 3z+1-i=z-3+7i.

    Wir sammeln alle \displaystyle z auf der linken Seite der Gleichung, indem wir \displaystyle z von beiden Seiten subtrahieren
    \displaystyle 2z+1-i = -3+7i

    Jetzt subtrahieren wir \displaystyle 1-i von beiden Seiten,

    \displaystyle 2z = -4+8i\,\mbox{.}
    Also ist \displaystyle \ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle z(-1-i)=6-2i.

    Wir dividieren beide Seiten durch \displaystyle -1-i um \displaystyle z zu erhalten.
    \displaystyle z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}
  3. Löse die Gleichung \displaystyle 3iz-2i=1-z.

    Wir addieren \displaystyle z und \displaystyle 2i auf beiden Seiten und erhalten
    \displaystyle 3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}

    Das ergibt

    \displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}
  4. Löse die Gleichung \displaystyle 2z+1-i=\bar z +3 + 2i.

    Die Gleichung enthält \displaystyle z und \displaystyle \overline{z}. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass \displaystyle z=a+ib und die Gleichung für \displaystyle a und \displaystyle b lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren.
    \displaystyle 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i

    Also

    \displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}

    das ergibt

    \displaystyle \left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}
    Die Antwort ist daher \displaystyle z=2+i.


Tipps fürs Lernen

Beachte folgendes:

Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass \displaystyle i^2=-1.

Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.



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