3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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{{Selected tab|[[3.1 Complex number calculations|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[3.1 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.1 Übungen|Übungen]]}}
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|}
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{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Real and imaginary part
+
* Real- und Imaginärteil
-
* Addition and subtraction of complex numbers
+
* Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
-
* Complex conjugate
+
* Komplexe Konjugation
-
* Multiplication and division of complex numbers
+
* Multiplikation und Division von komplexen Zahlen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
 
+
-
* Simplify expressions that are constructed using complex numbers and the four arithmetic operations.
+
-
* Solve first order complex number equations and simplify the answer.
+
 +
* Wie man komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfacht.
 +
* Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.
}}
}}
-
== Introduction ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
== A - Einführung ==
-
The real numbers represent a complete set of numbers in the sense that they "fill" the real-number axis. Despite this, the set of real numbers does not contain the solutions of ''all'' possible algebraic equations. In other words, there are equations of the type
+
Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form
-
{{Displayed math||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}
-
that do not have a solution among the real numbers. For example, the equation <math>x^2+1=0</math> has no real solution, since no real number satisfies <math>x^2=-1</math>. However, if we can imagine <math>\sqrt{-1}</math> as the number that satisfies the equation <math>x^2=-1</math> and manipulate <math>\sqrt{-1}</math> just like any other number, it turns out that every algebraic equation does have solutions.
+
haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung <math>x^2+1=0</math> keine reellen Lösungen, weil keine reelle Zahl <math>x^2=-1</math> erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir <math>\sqrt{-1}</math> als die Zahl definieren, die die Gleichung <math>x^2=-1</math> erfüllt und so rechnen als wäre <math>\sqrt{-1}</math> eine normale Zahl.
-
The number <math>\sqrt{-1}</math>, however, is a fairly strange object. We cannot go out into the world and measure <math>\sqrt{-1}</math> anywhere, or find something that is numerically <math>\sqrt{-1}</math>. Nonetheless, this number turns out to be very useful in many applications of mathematics.
+
Obwohl die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
If we would like to find out the sum of the roots (solutions) of the equation <math>x^2-2x+2=0</math> we can first obtain the roots <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> and <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. These roots contain <math>\sqrt{-1}</math>. If we allow ourselves to do calculations containing <math>\sqrt{-1}</math>, we see that the sum of <math>x_1</math> and <math>x_2</math> turns out to be <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math>, which is an ordinary, familiar "real" number.
+
Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die Nullstellen <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese Lösungen enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.
-
Even though the answer to the problem was a "real" number, we found the "imaginary" number <math>\sqrt{-1}</math> useful in solving it.
+
Wir haben die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.
</div>
</div>
-
== Definition of complex numbers==
+
== B - Definition der komplexen Zahlen ==
-
The terms "real" (for the ordinary, familiar positive and negative numbers, together with zero) and "imaginary" (for numbers like <math>\sqrt{-1}</math>) are actually pretty flawed in some ways (''all'' numbers are abstract human inventions, it could be argued). Nonetheless, this terminology, which reflects the unease and scepticism with which the mathematical community once viewed numbers like <math>\sqrt{-1}</math>, has stuck.
+
Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.
-
The number <math>\sqrt{-1}</math> cannot be given an approximate decimal value, the way <math>\sqrt{2}</math> can; we have no choice but to write it as an unevaluated root (a ''surd''). For simplicity and economy, we usually represent this number by the symbol <math>i</math> (sometimes <math>j</math>). It is sometimes called the ''imaginary unit'', and any number of the form <math>b\,i</math>, where <math>b</math> is real, is known as an ''imaginary number''. We go on to define a ''complex number'' as an object that can be written in the form
+
Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen der Form <math>bi</math>, mit <math>b</math> reell, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl der Form
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>z=a+bi\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=a+bi\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
where <math>a</math> and <math>b</math> are real numbers, and <math>i</math> satisfies <math>i^2=-1</math>.
+
wobei <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.
-
If <math>a = 0</math> then the number is "purely imaginary". If <math>b = 0</math> the number is real. We can see that the real numbers are a subset of the complex numbers. The set of complex numbers is designated by '''C'''.
+
Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit <math> \Bbb{C} </math> bezeichnen.
-
For an arbitrary complex number one often uses the symbol <math>z</math>. If <math>z=a+bi</math>, where <math>a</math> and <math>b</math> are real, then <math>a</math> is the real part and <math>b</math> the imaginary part of <math>z</math>. One uses the following notation: <br\>
+
Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} z\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} (z)\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} (z)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
When one calculates with complex numbers one treats them just like real numbers, but keeps track of the fact that <math>i^2=-1</math>.
+
Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass <math>i^2=-1</math>.
-
==Addition and subtraction ==
+
== C - Addition und Subtraktion ==
-
To add or subtract complex numbers one adds or subtracts the real and imaginary parts separately.
+
Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.
-
If <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> are two complex numbers then,
+
 
 +
Wenn <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> zwei komplexe Zahlen sind, dann ist
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 88: Zeile 90:
-
== Multiplication ==
+
== D - Multiplikation ==
-
Complex numbers are multiplied in the same way as ordinary real numbers or algebraic expressions, with the extra condition that <math>i^2=-1</math>. Generally one has for two complex numbers <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> that
+
Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math>, dass
-
<div class="regel">{{Displayed math||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
+
<div class="regel">{{Abgesetzte Formel||<math>z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 103: Zeile 105:
<li><math>(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i</math></li>
<li><math>(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i</math></li>
<li><math>(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13</math></li>
<li><math>(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13</math></li>
-
<li><math>(3+i)^2=3^2+2\times3i+i^2=8+6i</math></li>
+
<li><math>(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i</math></li>
<li><math>i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1</math></li>
<li><math>i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1</math></li>
-
<li><math>i^{23}=i^{22}\times i=(i^2)^{11}\times i=(-1)^{11}i=-i</math></li>
+
<li><math>i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
== Complex conjugate ==
+
== E - Komplexe Konjugation ==
-
If <math>z=a+bi</math> then <math>\overline{z} = a-bi</math> is called the ''complex conjugate'' of <math>z</math> (the opposite is also true, that <math>z</math> is conjugate to <math>\overline{z}</math>). One obtains the relationships
+
Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
but most importantly, using the difference of two squares rule, one obtains
+
Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, folgendes erhält
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}</math>}}
</div>
</div>
-
i.e. that the product of a complex number and its conjugate is always real.
+
Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z\, \bar z \in \Bbb{R} </math> }}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>z=5+i\qquad</math> then <math>\quad\overline{z}=5-i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=5+i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z}=5-i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=-3-2i\qquad</math> then <math>\quad\overline{z} =-3+2i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=-3-2i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =-3+2i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=17\qquad</math> then <math>\quad\overline{z} =17\,</math>.</li>
+
<li><math>z=17\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =17\,</math>.</li>
-
<li><math>z=i\qquad</math> then <math>\quad\overline{z} =-i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =-i\,</math>.</li>
-
<li><math>z=-5i\qquad</math> then <math>\quad\overline{z} =5i\,</math>.</li>
+
<li><math>z=-5i\qquad</math> wird zu <math>\quad\overline{z} =5i\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> If <math>z=4+3i</math> one has
+
<li> Wenn <math>z=4+3i</math> erhält man
*<math>z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8</math>
*<math>z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8</math>
*<math>z-\overline{z} = 6i</math>
*<math>z-\overline{z} = 6i</math>
*<math>z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25</math>
*<math>z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25</math>
</li>
</li>
-
<li> If for <math>z</math> one has <math>\mathop{\rm Re} z=-2</math>
+
<li> Wenn man für <math>z</math> <math>\mathop{\rm Re} z=-2</math>
-
and <math>\mathop{\rm Im} z=1</math>, one gets
+
und <math>\mathop{\rm Im} z=1</math> einsetzt, erhält man
*<math>z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4</math>
*<math>z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4</math>
*<math>z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i</math>
*<math>z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i</math>
Zeile 159: Zeile 163:
-
== Division ==
+
== F - Division ==
-
For the division of two complex numbers one multiplies the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator, thus getting a denominator which is a real number. Then, both the real and imaginary parts of the (new) numerator are divided by this number (the new denominator). In general, if <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math>:
+
Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in \Bbb{R} </math> , erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
+
<li><math>\quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
-
= \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i</math></li>
+
= \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i</math></li><br><br>
<li><math>\quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}
<li><math>\quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}
-
= \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i</math></li>
+
= \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i</math></li><br><br>
<li><math>\quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}
<li><math>\quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}
= \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i</math></li>
= \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i</math></li>
Zeile 181: Zeile 185:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}
<li><math>\quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}
= \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}
= \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}
-
= \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}</math><br/>
+
= \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}
<math>\quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{}
= \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}
= \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}
Zeile 194: Zeile 198:
+ \dfrac{i}{2+i}}
+ \dfrac{i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}}
= \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}}
-
= \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}</math><br/>
+
= \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
-
= \frac{-1-i}{1-i}\times \frac{2+i}{-2+5i}
+
= \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i}
= \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)}
= \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)}
-
= \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br/>
+
= \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br/><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
= \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}
= \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}
-
= \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
= \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}</math><br><br>
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
<math>\quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{}
= \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}</math></li>
= \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}</math></li>
Zeile 209: Zeile 213:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Determine the real number <math>a</math> such that the expression <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> becomes real.
+
Bestimme die reelle Zahl <math>a</math> so, dass der Ausdruck <math>\ \frac{2-3i}{2+ai}\ </math> reell ist.
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
-
Multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator so that the expression can be written with separate real and imaginary parts.
+
Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.
-
{{Displayed math||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}</math>}}
-
If the expression is to be real , the imaginary part must be 0, ie.
+
Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also
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{{Displayed math||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
== Equations ==
+
== G - Gleichungen ==
-
If the two complex numbers <math>z=a+bi</math> and <math>w=c+di</math> are equal then it is not hard to show that both the real and imaginary parts must be equal (in other words, <math>a=c</math> and <math>b=d</math>). When you are looking for an unknown complex number <math>z</math> in an equation, you can either try to solve for the number <math>z</math> in the usual way, or insert <math>z=a+bi</math> in the equation and then compare the real and imaginary parts of the two sides of the equation with each other.
+
Wenn zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist <math>a=c</math> und <math>b=d</math>. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten <math>z</math> löst, schreibt man oft <math>z=a+bi</math> und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>3z+1-i=z-3+7i</math>.
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<br/>
<br/>
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Collect all <math>z</math> on the left-hand side by subtracting <math>z</math> from both sides
+
Wir sammeln alle <math>z</math> auf der linken Seite der Gleichung, indem wir <math>z</math> von beiden Seiten subtrahieren
-
{{Displayed math||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}} and now subtract <math>1-i</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2z+1-i = -3+7i</math>}}
-
{{Displayed math||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
+
-
This gives that <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
+
-
<li> Solve the equation <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
+
Jetzt subtrahieren wir <math>1-i</math> von beiden Seiten,
 +
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>2z = -4+8i\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
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Also ist <math>\ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}</math></li>
 +
 
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<li> Löse die Gleichung <math>z(-1-i)=6-2i</math>.
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<br/>
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Divide both sides by <math>-1-i</math> in order to obtain <math>z</math>
+
Wir dividieren beide Seiten durch <math>-1-i</math> um <math>z</math> zu erhalten.
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{{Displayed math||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Solve the equation <math>3iz-2i=1-z</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>3iz-2i=1-z</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
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-
Adding <math>z</math> and <math>2i</math> to both sides gives
+
Wir addieren <math>z</math> und <math>2i</math> auf beiden Seiten und erhalten
-
{{Displayed math||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
+
-
This gives
+
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{{Displayed math||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
-
<li> Solve the equation <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}</math>}}
 +
Das ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}</math>}}</li>
 +
 
 +
<li> Löse die Gleichung <math>2z+1-i=\bar z +3 + 2i</math>.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
-
The equation contains both <math>z</math> as well as <math>\overline{z}</math> and therefore we assume <math>z</math> to be <math>z=a+ib</math> and solve the equation for <math>a</math> and <math>b</math> by equating the real and imaginary parts of both sides {{Displayed math||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
+
Die Gleichung enthält <math>z</math> und <math>\overline{z}</math>. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass <math>z=a+ib</math> und die Gleichung für <math>a</math> und <math>b</math> lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren. {{Abgesetzte Formel||<math>2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i</math>}}
-
i.e.
+
Also
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{{Displayed math||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}</math>}}
-
which gives
+
das ergibt
-
{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}</math>}}
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The answer is therefore, <math>z=2+i</math>.</li>
+
Die Antwort ist daher <math>z=2+i</math>.</li>
</ol>
</ol>
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<div class="inforuta">
<div class="inforuta">
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'''Study advice '''
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'''Tipps fürs Lernen '''
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'''Keep in mind that:'''
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'''Beachte folgendes:'''
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Calculations with complex numbers are done in the same way as with ordinary numbers with the additional information that <math>i^2=-1</math>.
+
Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass <math>i^2=-1</math>.
-
Quotients of complex numbers are simplified by multiplying the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.
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Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Real- und Imaginärteil
  • Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation
  • Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfacht.
  • Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung \displaystyle x^2+1=0 keine reellen Lösungen, weil keine reelle Zahl \displaystyle x^2=-1 erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir \displaystyle \sqrt{-1} als die Zahl definieren, die die Gleichung \displaystyle x^2=-1 erfüllt und so rechnen als wäre \displaystyle \sqrt{-1} eine normale Zahl. Obwohl die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.


Beispiel 1

Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung \displaystyle x^2-2x+2=0 suchen, finden wir zuerst die Nullstellen \displaystyle x_1=1+\sqrt{-1} und \displaystyle x_2=1-\sqrt{-1}. Diese Lösungen enthalten \displaystyle \sqrt{-1}. Wenn wir ganz normal mit \displaystyle \sqrt{-1} rechnen, sehen wir, dass die Summe von \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 \displaystyle 1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2 eine ganz normale reelle Zahl ist.

Wir haben die "imaginäre" Zahl \displaystyle \sqrt{-1} verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.


B - Definition der komplexen Zahlen

Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1}) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie \displaystyle \sqrt{-1} entstanden.

Da die Zahl \displaystyle \sqrt{-1} nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei \displaystyle \sqrt{2} möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich \displaystyle i (oder manchmal auch \displaystyle j). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen der Form \displaystyle bi, mit \displaystyle b reell, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form

\displaystyle z=a+bi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle a und \displaystyle b reelle Zahlen sind und \displaystyle i die Gleichung \displaystyle i^2=-1 erfüllt.

Wenn \displaystyle a = 0 nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn \displaystyle b = 0 ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit \displaystyle \Bbb{C} bezeichnen.

Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit \displaystyle z. Wenn \displaystyle z=a+bi, wobei \displaystyle a und \displaystyle b reell sind, ist \displaystyle a der Realteil und \displaystyle b der Imaginärteil von \displaystyle z. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen

\displaystyle \begin{align*}a &= \mathop{\rm Re} (z)\,\mbox{,}\\ b&=\mathop{\rm Im} (z)\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass \displaystyle i^2=-1.


C - Addition und Subtraktion

Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.

Wenn \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di zwei komplexe Zahlen sind, dann ist

\displaystyle \begin{align*} z+w &= a+bi+c+di = a+c+(b+d)i\,\mbox{,}\\ z-w &= a+bi-(c+di) = a-c+(b-d)i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

  1. \displaystyle (3-5i)+(-4+i)=-1-4i
  2. \displaystyle \bigl(\tfrac{1}{2}+2i\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{6}+3i\bigr) = \tfrac{1}{3}-i
  3. \displaystyle \frac{3+2i}{5}-\frac{3-i}{2} = \frac{6+4i}{10}-\frac{15-5i}{10} = \frac{-9+9i}{10} = -0\textrm{.}9 + 0\textrm{.}9i


D - Multiplikation

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass \displaystyle i^2=-1. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di, dass

\displaystyle z\, w=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i\,\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3(4-i)=12-3i
  2. \displaystyle 2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i
  3. \displaystyle (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i
  4. \displaystyle (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13
  5. \displaystyle (3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i
  6. \displaystyle i^{12}=(i^2)^6=(-1)^6=1
  7. \displaystyle i^{23}=i^{22}\cdot i=(i^2)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i


E - Komplexe Konjugation

Wenn \displaystyle z=a+bi nennt man \displaystyle \overline{z} = a-bi die zu \displaystyle z konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass \displaystyle z die konjugiert komplexe Zahl von \displaystyle \overline{z} ist). Man erhält dadurch folgende Regeln

\displaystyle \begin{align*} z+\overline{z} &= a + bi + a - bi = 2a = 2\, \mathop{\rm Re} z\,\mbox{,}\\ z-\overline{z} &= a + bi - (a - bi) = 2bi = 2i\, \mathop{\rm Im} z\,\mbox{,}\end{align*}

Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, folgendes erhält

\displaystyle z\, \bar z = (a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\,\mbox{,}

Das Produkt einer komplexen Zahl \displaystyle z mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl \displaystyle \overline{z} ist also immer reell

\displaystyle z\, \bar z \in \Bbb{R}


Beispiel 4

  1. \displaystyle z=5+i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z}=5-i\,.
  2. \displaystyle z=-3-2i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =-3+2i\,.
  3. \displaystyle z=17\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =17\,.
  4. \displaystyle z=i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =-i\,.
  5. \displaystyle z=-5i\qquad wird zu \displaystyle \quad\overline{z} =5i\,.

Beispiel 5

  1. Wenn \displaystyle z=4+3i erhält man
    • \displaystyle z+\overline{z} = 4 + 3i + 4 -3i = 8
    • \displaystyle z-\overline{z} = 6i
    • \displaystyle z \, \overline{z} = 4^2-(3i)^2=16+9=25
  2. Wenn man für \displaystyle z \displaystyle \mathop{\rm Re} z=-2 und \displaystyle \mathop{\rm Im} z=1 einsetzt, erhält man
    • \displaystyle z+\overline{z} = 2\,\mathop{\rm Re} z = -4
    • \displaystyle z-\overline{z} = 2i\,\mathop{\rm Im} z = 2i
    • \displaystyle z\, \overline{z} = (-2)^2+1^2=5


F - Division

Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil \displaystyle z \bar z \in \Bbb{R} , erhält man einen reellen Nenner. Für \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gilt im Allgemeinen:

\displaystyle \frac{z}{w} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i

Beispiel 6

  1. \displaystyle \quad\frac{4+2i}{1+i} = \frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2} = \frac{6-2i}{2}=3-i


  2. \displaystyle \quad\frac{25}{3-4i} = \frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2} = \frac{25(3+4i)}{25} = 3+4i


  3. \displaystyle \quad\frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i+2i^2}{-i^2} = \frac{-2-3i}{1} = -2-3i

Beispiel 7

  1. \displaystyle \quad\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i} = \frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)} - \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}


    \displaystyle \quad\phantom{\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}}{} = \frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10} = \frac{3-i}{10}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \quad\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i}{1-i}-\dfrac{2}{1-i}}{\dfrac{2i(2+i)}{(2+i)} + \dfrac{i}{2+i}} = \frac{\dfrac{1-i-2}{1-i}}{\dfrac{4i+2i^2 + i}{2+i}} = \frac{\dfrac{-1-i}{1-i}}{\dfrac{-2+5i}{2+i}}


    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-i}{1-i}\cdot \frac{2+i}{-2+5i} = \frac{(-1-i)(2+i)}{(1-i)(-2+5i)} = \frac{-2-i-2i-i^2}{-2+5i+2i-5i^2}\vphantom{\Biggl(}


    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-1-3i}{3+7i} = \frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)} = \frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}\vphantom{\Biggl(}

    \displaystyle \quad\phantom{\smash{\frac{1-\dfrac{2}{1-i}}{2i+\dfrac{i}{2+i}}}}{} = \frac{-24-2i}{58} = \frac{-12-i}{29}\vphantom{\Biggl(}

Beispiel 8

Bestimme die reelle Zahl \displaystyle a so, dass der Ausdruck \displaystyle \ \frac{2-3i}{2+ai}\ reell ist.

Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.

\displaystyle \frac{(2-3i)(2-ai)}{(2+ai)(2-ai)} = \frac{4-2ai-6i+3ai^2}{4-a^2i^2} = \frac{4-3a-(2a+6)i}{4+a^2}

Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also

\displaystyle 2a+6=0\quad\Leftrightarrow\quad a = -3\,\mbox{.}


G - Gleichungen

Wenn zwei komplexe Zahlen \displaystyle z=a+bi und \displaystyle w=c+di gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist \displaystyle a=c und \displaystyle b=d. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten \displaystyle z löst, schreibt man oft \displaystyle z=a+bi und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.

Beispiel 9

  1. Löse die Gleichung \displaystyle 3z+1-i=z-3+7i.

    Wir sammeln alle \displaystyle z auf der linken Seite der Gleichung, indem wir \displaystyle z von beiden Seiten subtrahieren
    \displaystyle 2z+1-i = -3+7i

    Jetzt subtrahieren wir \displaystyle 1-i von beiden Seiten,

    \displaystyle 2z = -4+8i\,\mbox{.}
    Also ist \displaystyle \ z=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle z(-1-i)=6-2i.

    Wir dividieren beide Seiten durch \displaystyle -1-i um \displaystyle z zu erhalten.
    \displaystyle z = \frac{6-2i}{-1-i} = \frac{(6-2i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)} = \frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2} = \frac{-4+8i}{2} = -2+4i\,\mbox{.}
  3. Löse die Gleichung \displaystyle 3iz-2i=1-z.

    Wir addieren \displaystyle z und \displaystyle 2i auf beiden Seiten und erhalten
    \displaystyle 3iz+z=1+2i\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i\,\mbox{.}

    Das ergibt

    \displaystyle z = \frac{1+2i}{1+3i} = \frac{(1+2i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2} = \frac{7-i}{10}\,\mbox{.}
  4. Löse die Gleichung \displaystyle 2z+1-i=\bar z +3 + 2i.

    Die Gleichung enthält \displaystyle z und \displaystyle \overline{z}. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass \displaystyle z=a+ib und die Gleichung für \displaystyle a und \displaystyle b lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren.
    \displaystyle 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i

    Also

    \displaystyle (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i\,\mbox{,}

    das ergibt

    \displaystyle \left\{\begin{align*} 2a+1 &= a+3\\ 2b-1 &= 2-b\end{align*}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{align*} a &= 2\\ b &= 1\end{align*}\right.\,\mbox{.}
    Die Antwort ist daher \displaystyle z=2+i.


Tipps fürs Lernen

Beachte folgendes:

Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass \displaystyle i^2=-1.

Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.



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