2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Mall:Vald flik|[[2.3 Partiell integrering|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[2.3 Partielle Integration|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[2.3 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* Partiell integration.
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* Partielle Integration.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
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* Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
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* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
+
* Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.
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* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).
+
}}
}}
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== Partiell integration ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas ''partiell integration''. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om <math>f</math> och <math>g</math> är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att
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== A - Partielle Integration ==
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{{Fristående formel||<math>D\,(\,f\cdot g) = f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,\mbox{.}</math>}}
+
Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung
-
Om man nu integrerar båda leden får man
+
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v </math>}}
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{{Fristående formel||<math>f \cdot g = \int (\,f^{\,\prime} \cdot g + f \cdot g'\,)\,dx = \int f^{\,\prime} \cdot g\,dx + \int f\cdot g'\,dx</math>}}
+
oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)
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eller efter ommöblering
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{{Abgesetzte Formel||<math> \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>\int f^{\,\prime} \cdot g\,dx = f \cdot g - \int f \cdot g'\,dx\,\mbox{.}</math>}}
+
Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir
-
Detta ger oss formeln för partiell integration.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
 +
 
 +
und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Partiell integration:'''
+
'''Partielle Integration:'''
-
{{Fristående formel||<math>\int f(x)\cdot g(x)\,dx = F(x) \cdot g(x) - \int F(x) \cdot g'(x)\,dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn <math>f</math> och den andra <math>g</math>, varefter man byter ut integralen <math>\,\int f \cdot g\,dx\ </math> mot den förhoppningsvis enklare integralen <math>\,\int F \cdot g'\,dx\,\mbox{,}\ </math> där <math>F</math> är en primitiv funktion till <math>f</math> och <math>g'</math> är derivatan av <math>g</math>.
+
Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.
-
 
+
-
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna <math>f</math> och <math>g</math>, vilket följande exempel visar.
+
Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Bestäm integralen <math>\,\int x \cdot \sin x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\,\int x \, \sin x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
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-
Om man väljer <math>f=x</math> och <math>g=\sin x</math> får man <math>F=x^2/2</math> och <math>g'=\cos x</math>, och enligt formeln för partiell integration
+
Wenn wir <math>u=\sin x</math> und <math>v'=x</math> wählen, erhalten wir <math>u'=\cos x</math> und <math>v=x^2/2</math> und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration
-
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \sin x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
+
-
Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.
+
Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.
-
Om man i stället väljer <math>f=\sin x</math> och <math>g=x</math> får man <math>F=-\cos x</math> och <math>g'=1</math>, och
+
Wenn wir aber <math>u=x</math> und <math>v'=\sin x</math> wählen, wird <math>u'=1</math> und <math>v=-\cos x</math>,
-
{{Fristående formel||<math>\int x \cdot \sin x \, dx = - x \cdot \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
Bestäm integralen <math>\ \int x^2 \cdot \ln x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int x^2 \, \ln x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
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Sätt <math>f=x^2</math> och <math>g=\ln x</math> eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: <math>F=x^3/3</math> och <math>g'=1/x</math>. Detta ger oss alltså att
+
Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math>, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
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Bestäm integralen <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
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Sätt <math>f=e^x</math> och <math>g=x^2</math>, vilket ger att <math>F=e^x</math> och <math>g'=2x</math>, och en partiell integrering ger att
+
Wir wählen <math>u=x^2</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2x</math> und <math>v=e^x</math>. Durch partielle Integration erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math>. Vi väljer i detta fall <math>f=e^x</math> och <math>g=2x</math>, vilket ger att <math>F=e^x</math> och <math>g'=2</math>
+
Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>
-
{{Fristående formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
-
Den ursprungliga integralen blir alltså
+
Das ursprüngliche Integral ist
-
{{Fristående formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
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Bestäm integralen <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
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I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn <math>e^x</math> och derivera faktorn <math>\cos x</math>,
+
Wir integrieren den Faktor <math>e^x</math> und leiten den Faktor <math>\cos x</math> ab,
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn <math>\cos x</math> mot <math>\sin x</math> i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera <math>e^x</math> och derivera <math>\sin x</math>) då får vi att
+
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor <math>e^x</math> integrieren und den Faktor <math>\sin x</math> ableiten.
-
{{Fristående formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:
+
Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.
-
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
+
Wir haben also
-
och samlar vi integralerna i ena ledet fås att
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
+
Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir
-
Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 5'''
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''' Beispiel 5'''
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Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
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Bestimme das Integral <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
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Integralen kan skrivas om som
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Das Integral kann als
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{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{}</math>}}
-
Sätt nu <math>f=e^{-x}</math> och <math>g=2x</math>, och partialintegrera
+
geschrieben werden. Wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^{-x}</math>, erhalten wir durch partielle Integration
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
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Beräkna integralen <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
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Vi utför först en variabelsubstitution <math>u=\sqrt{x}</math> vilket ger att <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math>, dvs., <math>dx = 2u\,du\,</math>,
+
Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math> und wir erhalten das Integral
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{{Fristående formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
-
Sedan partialintegrerar vi. Sätt <math>f=2u</math> och <math>g=\ln u</math>, vilket ger att
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Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab und integrieren den Faktor <math>2u</math>
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
''Anm.'' Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> och sedan partialintegrera produkten <math>\tfrac{1}{2}\cdot\ln x</math>.
+
 
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Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> zu schreiben und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration zu integrieren.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.3 Übungen|Übungen]]''' .

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Partielle Integration.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Partielle Integration

Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn \displaystyle u und \displaystyle v zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

\displaystyle D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v

oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)

\displaystyle \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}

Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir

\displaystyle u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx

und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.

Partielle Integration:

\displaystyle \int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}

Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral \displaystyle \,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ einfacher zu berechnen ist als \displaystyle \,\int u \, v'\,dx\ . Hier ist \displaystyle v eine beliebige Stammfunktion von \displaystyle v' (vorzugsweise die einfachste) und \displaystyle u' ist die Ableitung von \displaystyle u.

Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion \displaystyle u sein soll und welche \displaystyle v' sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.

Beispiel 1

Bestimme das Integral \displaystyle \,\int x \, \sin x \, dx\,.

Wenn wir \displaystyle u=\sin x und \displaystyle v'=x wählen, erhalten wir \displaystyle u'=\cos x und \displaystyle v=x^2/2 und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.

Wenn wir aber \displaystyle u=x und \displaystyle v'=\sin x wählen, wird \displaystyle u'=1 und \displaystyle v=-\cos x,

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 \, \ln x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=\ln x und \displaystyle v'=x^2, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem \displaystyle u'=1/x und \displaystyle v=x^3/3, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 e^x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=x^2 und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2x und \displaystyle v=e^x. Durch partielle Integration erhalten wir

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}

Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx zu berechnen. Hier wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2 und \displaystyle v=e^x

\displaystyle \int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}

Das ursprüngliche Integral ist

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}

Beispiel 4

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.

Wir integrieren den Faktor \displaystyle e^x und leiten den Faktor \displaystyle \cos x ab,

\displaystyle \begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor \displaystyle e^x integrieren und den Faktor \displaystyle \sin x ableiten.

\displaystyle \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}

Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx

Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.

Das Integral kann als

\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{}

geschrieben werden. Wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^{-x}, erhalten wir durch partielle Integration

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 6

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.

Zuerst machen wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}, wodurch wir \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u erhalten. Also ist \displaystyle dx = 2u\,du\, und wir erhalten das Integral

\displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}

Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor \displaystyle \ln u ab und integrieren den Faktor \displaystyle 2u

\displaystyle \begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}


Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x zu schreiben und die Produkte \displaystyle \tfrac{1}{2}\,\ln x mit partieller Integration zu integrieren.



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