2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Gewählter Tab|[[2.3 Partielle Integration|Theorie]]}}
{{Gewählter Tab|[[2.3 Partielle Integration|Theorie]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Integration by parts.
+
* Partielle Integration.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
* Understand the derivation of the formula for integration by parts.
+
* Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
-
* Solve problems about integration that require integration by parts, followed by a substitution (or vice versa).
+
* Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.
}}
}}
-
== Integration by parts ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
To integrate products, one sometimes can make use of a method known as ''integration by parts''. The method is based on the reverse use of the rules for differentiation of products. If <math>u</math> and <math>v</math> are two differentiable functions then the rule for products gives
+
== A - Partielle Integration ==
-
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
+
Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung
-
Now if one integrates both sides one gets
+
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v </math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
+
oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)
-
which, after re-ordering, becomes the formula for integration by parts.
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
 +
 
 +
und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Integration by parts:'''
+
'''Partielle Integration:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
This means in practice that one integrates a product of functions by calling one factor <math>u</math> and the other <math>v'</math>, and then replaces the integral <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>, with the integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{,}\ </math>, which one hopes will be easier. Here, <math>v</math> is any antiderivative (primitive function) of <math>v'</math> (by preference, the simplest) and <math>u'</math> is the derivative of <math>u</math>.
+
Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.
-
 
+
-
It is important to note that the method does not always lead to an integral that is easier than the original. It may also be crucial how one chooses the functions <math>u</math> and <math>v'</math>, as the following example shows.
+
Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
Determine the integral <math>\,\int x \, \sin x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\,\int x \, \sin x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
If one chooses <math>u=\sin x</math> and <math>v'=x</math> one gets <math>u'=\cos x</math> and <math>v=x^2/2</math>, and the formula for integration by parts gives
+
Wenn wir <math>u=\sin x</math> und <math>v'=x</math> wählen, erhalten wir <math>u'=\cos x</math> und <math>v=x^2/2</math> und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
+
-
The new integral on the right-hand side in this case is not easier than the original integral.
+
Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.
-
If, instead, one chooses <math>u=x</math> and <math>v'=\sin x</math> then <math>u'=1</math> and <math>v=-\cos x</math>, and
+
Wenn wir aber <math>u=x</math> und <math>v'=\sin x</math> wählen, wird <math>u'=1</math> und <math>v=-\cos x</math>,
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \times \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
Determine the integral <math>\ \int x^2 \, \ln x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int x^2 \, \ln x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Put <math>u=\ln x</math> and <math>v'=x^2</math>, since differentiation eliminates the logarithm when we carry out an integration by parts: <math>u'=1/x</math> and <math>v=x^3/3</math>. This gives us
+
Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math>, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
-
Determine the integral <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Put <math>u=x^2</math> and <math>v'=e^x</math>, which gives <math>u'=2x</math> and <math>v=e^x</math>; integration by parts gives
+
Wir wählen <math>u=x^2</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2x</math> und <math>v=e^x</math>. Durch partielle Integration erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
This requires further integration by parts to solve the new integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math>. We choose in this case <math>u=2x</math> and <math>v'=e^x</math>, which gives <math>u'=2</math> and <math>v=e^x</math>:
+
Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
-
The original integral thus becomes
+
Das ursprüngliche Integral ist
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Determine the integral <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
In the first integration by parts, we have chosen to integrate the factor <math>e^x</math> and differentiate the factor <math>\cos x</math>,
+
Wir integrieren den Faktor <math>e^x</math> und leiten den Faktor <math>\cos x</math> ab,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The result of this is that we essentially have replaced the factor <math>\cos x</math> by <math>\sin x</math> in the integral. If we therefore use integration by parts once again (integrate the <math>e^x</math> and differentiate the <math>\sin x</math>) we get
+
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor <math>e^x</math> integrieren und den Faktor <math>\sin x</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Thus the original integral appears here again. Summarising we have:
+
Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.
 +
 
 +
Wir haben also
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
-
and collecting the integrals to one side gives
+
Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
-
Although integration by parts in this case did not lead to an easier integral, we arrived at an equation in which the original integral could be ”solved for”. This is not entirely unusual when the integrand is a product of trigonometric functions and / or exponential functions.
+
Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
</div>
</div>
Zeile 120: Zeile 127:
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Determine the integral <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The integral can be rewritten as
+
Das Integral kann als
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{}</math>}}
-
Substitute <math>u=2x</math> and <math>v'=e^{-x}</math>, and integrate by parts
+
geschrieben werden. Wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^{-x}</math>, erhalten wir durch partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
Determine the integral <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
+
Bestimme das Integral <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We start by performing a substitution <math>u=\sqrt{x}</math> which gives <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math>, that is, <math>dx = 2u\,du\,</math>,
+
Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math> und wir erhalten das Integral
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
-
Then we integrate by parts. Put <math>f=\ln u</math> <math>g'=2u</math>, which gives
+
Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab und integrieren den Faktor <math>2u</math>
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
''Note.'' An alternative approach is to rewrite the initial integrand as <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> and then integrate by parts the product <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math>.
+
 
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Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> zu schreiben und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration zu integrieren.
</div>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.3 Übungen|Übungen]]''' .

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Partielle Integration.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die partielle Integration hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Partielle Integration

Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn \displaystyle u und \displaystyle v zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

\displaystyle D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v

oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)

\displaystyle \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}

Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir

\displaystyle u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx

und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.

Partielle Integration:

\displaystyle \int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}

Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral \displaystyle \,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ einfacher zu berechnen ist als \displaystyle \,\int u \, v'\,dx\ . Hier ist \displaystyle v eine beliebige Stammfunktion von \displaystyle v' (vorzugsweise die einfachste) und \displaystyle u' ist die Ableitung von \displaystyle u.

Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion \displaystyle u sein soll und welche \displaystyle v' sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.

Beispiel 1

Bestimme das Integral \displaystyle \,\int x \, \sin x \, dx\,.

Wenn wir \displaystyle u=\sin x und \displaystyle v'=x wählen, erhalten wir \displaystyle u'=\cos x und \displaystyle v=x^2/2 und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Integral.

Wenn wir aber \displaystyle u=x und \displaystyle v'=\sin x wählen, wird \displaystyle u'=1 und \displaystyle v=-\cos x,

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 \, \ln x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=\ln x und \displaystyle v'=x^2, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem \displaystyle u'=1/x und \displaystyle v=x^3/3, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int x^2 e^x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=x^2 und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2x und \displaystyle v=e^x. Durch partielle Integration erhalten wir

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}

Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx zu berechnen. Hier wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^x, daher ist \displaystyle u'=2 und \displaystyle v=e^x

\displaystyle \int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}

Das ursprüngliche Integral ist

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}

Beispiel 4

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.

Wir integrieren den Faktor \displaystyle e^x und leiten den Faktor \displaystyle \cos x ab,

\displaystyle \begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration, indem wir den Faktor \displaystyle e^x integrieren und den Faktor \displaystyle \sin x ableiten.

\displaystyle \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}

Hier erscheint wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx

Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.

Das Integral kann als

\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{}

geschrieben werden. Wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^{-x}, erhalten wir durch partielle Integration

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 6

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.

Zuerst machen wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}, wodurch wir \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u erhalten. Also ist \displaystyle dx = 2u\,du\, und wir erhalten das Integral

\displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}

Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor \displaystyle \ln u ab und integrieren den Faktor \displaystyle 2u

\displaystyle \begin{align*}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}


Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x zu schreiben und die Produkte \displaystyle \tfrac{1}{2}\,\ln x mit partieller Integration zu integrieren.



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