1.2 Ableitungsregeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Info| | {{Info| | ||
'''Inhalt:''' | '''Inhalt:''' | ||
| - | * Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches | + | * Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches von Funktionen |
| - | * Die Ableitung | + | * Die Ableitung verketteter Funktionen |
* Höhere Ableitungen | * Höhere Ableitungen | ||
}} | }} | ||
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'''Lernziele:''' | '''Lernziele:''' | ||
| - | Nach diesem Abschnitt | + | Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen: |
| - | * | + | * Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet. |
}} | }} | ||
| - | == Die | + | Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). |
| + | |||
| + | == A - Die Produkt- und Quotientenregel == | ||
Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten: | Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten: | ||
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
| - | ''' | + | '''Produkt- und Quotientenregel: ''' |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= | + | {{Abgesetzte Formel||<math> \begin{align*} |
| + | \bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt] | ||
| + | \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^{\,\prime} &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} </math>}} | ||
| + | Dieselbe Regel in einer anderen Notation: | ||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math> \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= \bigl(\, \frac{d}{dx}\,f(x) \, \bigr) \, g(x) + f(x) \,\bigl(\,\frac{d}{dx}\, g(x) \bigr) \\[8pt] | ||
| + | \frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{\bigl( \frac{d}{dx}\,f(x) \bigr)\, g(x) - f(x)\, \bigl(\, \frac{d}{dx}\,g(x) \, \bigr)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} | ||
| + | </math>}} | ||
</div> | </div> | ||
| + | |||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
<li><math>\frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x | <li><math>\frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x | ||
| - | = (2x +x^2)\,e^x\,</math>.</li> | + | = (2x +x^2)\,e^x\,</math>.<br><br></li> |
| - | <li><math>\ | + | |
| - | = \sin x + x \cos x\,</math>.</li> | + | <li><math>(x \sin x)^\prime = (x)^\prime \cdot \sin x + x\,(\sin x)^\prime = 1 \cdot \sin x + x\,\cos x |
| - | <li><math>\frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \ | + | = \sin x + x \cos x\,</math>.<br><br></li> |
| - | = \ln x + 1 -1 = \ln x\,</math>.</li> | + | |
| - | <li><math> | + | <li><math>\frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1 |
| + | = \ln x + 1 -1 = \ln x\,</math>.<br><br></li> | ||
| + | |||
| + | <li><math> (\tan x)^\prime = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^\prime | ||
= \frac{ \cos x \, \cos x | = \frac{ \cos x \, \cos x | ||
- \sin x \, (-\sin x)}{(\cos x)^2} | - \sin x \, (-\sin x)}{(\cos x)^2} | ||
| - | \vphantom{\biggl(}</math><br> | ||
| - | <math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\tan x}{} | ||
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} | = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} | ||
| - | = \frac{1}{\cos^2 x}\,</math>.</li> | + | = \frac{1}{\cos^2 x}\,</math>.<br><br></li> |
| + | |||
<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} | <li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} | ||
| - | = \frac{\displaystyle 1 \ | + | = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} |
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} | - (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} | ||
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} | = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} | ||
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} | - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} | ||
| - | \vphantom{\biggl(}</math><br> | ||
| - | <math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}}{} | ||
= \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} | = \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} | ||
| - | = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.</li> | + | = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.<br><br></li> |
| - | <li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x} | + | |
| - | = \frac{(1\ | + | <li><math>\begin{align} \frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x} |
| - | - x\,e^x \ | + | &= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x) |
| - | + | - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} | |
| - | + | = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} \\ | |
| - | = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} | + | &= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2} \end{align}\,</math>.</li> |
| - | = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,</math>.</li> | + | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| + | == B - Ableitung von verketteten Funktionen == | ||
| - | + | Die Funktion <math>y(x)=f(g(x))</math> besteht aus einer inneren Funktion <math> g </math> und einer äußeren Funktion <math> f </math>. Um <math>y(x)</math> an einer Stelle <math> x=x_0 </math> zu berechnen, berechnet man zuerst <math> g(x_0) </math> und berechnet dann <math> f(u_0) </math> mit <math> u_0 = g(x_0) </math>. Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt <math> y = f \circ g </math> und spricht "f kringel g" oder "f nach g". | |
| - | + | ||
| - | + | Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) | {{Abgesetzte Formel||<math>y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) | ||
| - | + | \, g'(x)\,\mbox{.}</math>}} | |
| - | + | Genau wie man sagt, dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer äußeren Funktion ''f'' und einer inneren Funktion ''g'' besteht, sagt man auch, dass die Ableitung <math>y^{\,\prime}</math> das Produkt der äußere Ableitung <math>f^{\,\prime}</math> und der inneren Ableitung <math>g'</math> ist. | |
| - | + | In einer anderen Notation lautet die Kettenregel: | |
| - | + | ||
| - | + | {{Abgesetzte Formel||<math> \frac{d}{dx} y(x) = \frac{d}{du} f(u) \Big|_{u=g(x)} \, \frac{d}{dx} g(x)\,\mbox{.}</math>}} | |
| + | |||
| + | |||
| + | Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, verkürzt sich die Kettenregel zu | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx} | ||
| + | = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}} | ||
| Zeile 84: | Zeile 98: | ||
''' Beispiel 2''' | ''' Beispiel 2''' | ||
| - | + | <math>y(x)=(x^2 + 2x)^4</math> ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel: | |
<center> | <center> | ||
{| align="center" cellspacing="3em" cellpadding="0" | {| align="center" cellspacing="3em" cellpadding="0" | ||
| align="left" |<math>y=u^4</math> | | align="left" |<math>y=u^4</math> | ||
| - | | align="left" | die äußere Funktion und | + | | align="left" | die äußere Funktion und |
| align="left" |<math>u=x^2+2x</math> | | align="left" |<math>u=x^2+2x</math> | ||
| align="left" |die innere Funktion. | | align="left" |die innere Funktion. | ||
|- | |- | ||
| align="left" |<math>\dfrac{dy}{du}=4u^3</math> | | align="left" |<math>\dfrac{dy}{du}=4u^3</math> | ||
| - | | align="left" | die äußere Ableitung und | + | | align="left" | die äußere Ableitung und |
| align="left" |<math>\dfrac{du}{dx}=2x+2</math> | | align="left" |<math>\dfrac{du}{dx}=2x+2</math> | ||
| - | | align="left" |die innere Ableitung. | + | | align="left" | die innere Ableitung. |
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
| Zeile 103: | Zeile 117: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx} | ||
| - | + | = 4 u^3 \, (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \, (2x +2)\,\mbox{.}</math>}} | |
</div> | </div> | ||
| - | Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man | + | Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach |
{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung}) | {{Abgesetzte Formel||<math>(\text{Äußere Ableitung}) | ||
| - | + | \, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}} | |
| - | + | Vergiss nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden. | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
''' Beispiel 3''' | ''' Beispiel 3''' | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li><math> | + | <li><math> y(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br> |
| - | <math>\begin{array}{ | + | <math>\begin{array}{llll} |
| - | \text{Äußere Ableitung:} & \cos ( | + | \text{Äußere Funktion:} & f(u) = \sin u & \text{Äußere Ableitung:} & f^{\, \prime}(u) = \cos (u)\\ |
| - | \text{Innere | + | \text{Innere Funktion:} & g(x) = 3 x^2 +1 & \text{Innere Ableitung:} & g^{\, \prime}(x) = 6x |
\end{array}</math><br><br> | \end{array}</math><br><br> | ||
| - | <math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \ | + | <math> |
| - | = 6x \cos (3x^2 +1)</math></li> | + | \begin{align} y(x) &= f( g(x)) \\ |
| + | y^{\,\prime}(x) &= f^{\, \prime}(g(x)) \, g^{\, \prime} (x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x | ||
| + | = 6x \cos (3x^2 +1) \end{align}</math> <br><br></li> | ||
<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br> | <li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br> | ||
<math>\begin{array}{ll} | <math>\begin{array}{ll} | ||
\text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\ | \text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\ | ||
| - | \text{Innere Ableitung:} | + | \text{Innere Ableitung:} & 2x |
\end{array}</math><br><br> | \end{array}</math><br><br> | ||
| - | <math>y' = 5 \, e^{x^2} \ | + | <math>y' = 5 \, e^{x^2} \, 2x = 10x\, e^{x^2}</math><br><br> |
</li> | </li> | ||
| Zeile 136: | Zeile 152: | ||
<math>\begin{array}{ll} | <math>\begin{array}{ll} | ||
\text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ | \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ | ||
| - | \text{Innere Ableitung:} & 1\ | + | \text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x |
\end{array}</math><br><br> | \end{array}</math><br><br> | ||
| - | <math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math> | + | <math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math><br><br> |
</li> | </li> | ||
| Zeile 144: | Zeile 160: | ||
<math> s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) | <math> s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) | ||
+ t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) | + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) | ||
| - | = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)</math></li> | + | = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)</math><br><br></li> |
<li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x | <li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x | ||
| - | = \frac{d}{dx}\,e^{\ln a | + | = \frac{d}{dx}\,e^{x\ln a} |
| - | = e^{\ln a | + | = e^{x\ln a} \, \ln a |
| - | = a^x \, \ln a </math></li> | + | = a^x \, \ln a </math><br><br></li> |
<li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a | <li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a | ||
= \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } | = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } | ||
| - | = e^{a \, \ln x} \ | + | = e^{a \, \ln x} \cdot a \, \frac{1}{x} |
| - | = x^a \ | + | = x^a \cdot a \, x^{-1} |
= ax^{a-1}</math></li> | = ax^{a-1}</math></li> | ||
</ol> | </ol> | ||
| Zeile 160: | Zeile 176: | ||
</div> | </div> | ||
| - | Die Kettenregel kann mehrmals | + | Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion <math>y(x) = f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> die Ableitung |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) | + | {{Abgesetzte Formel||<math>y'(x)= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) |
| - | + | \, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.}</math>}} | |
| Zeile 174: | Zeile 190: | ||
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x) | = 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x) | ||
\vphantom{\Bigl(}</math><br> | \vphantom{\Bigl(}</math><br> | ||
| - | <math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\ | + | <math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2 |
| - | = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math></li> | + | = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math><br><br></li> |
| - | <li><math> \ | + | |
| + | <li><math> \left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)\, \right)^{\, \prime} | ||
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr) | = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr) | ||
| - | \, \ | + | \,\left(\,(x^2 -3x)^4 \, \right)^{\, \prime} |
| + | \vphantom{\Bigl(} </math><br> | ||
| + | <math> \phantom{\left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) \, \right)^{\, \prime} }{} | ||
| + | = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 | ||
| + | \,\left( \,(x^2-3x) \, \right)^{\, \prime} | ||
\vphantom{\Bigl(}</math><br> | \vphantom{\Bigl(}</math><br> | ||
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} | <math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} | ||
| - | = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\ | + | = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 |
| - | + | \, (2x-3)</math><br><br></li> | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x) | <li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x) | ||
= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 | = \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 | ||
| Zeile 197: | Zeile 215: | ||
\vphantom{\Bigl(}</math><br> | \vphantom{\Bigl(}</math><br> | ||
<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} | <math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} | ||
| - | = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)</math></li> | + | = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)</math><br><br></li> |
| + | |||
<li><math>\frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) | <li><math>\frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) | ||
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1} | = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1} | ||
| Zeile 204: | Zeile 223: | ||
\vphantom{\Biggl(}</math><br> | \vphantom{\Biggl(}</math><br> | ||
<math>\phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} | <math>\phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} | ||
| - | = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \ | + | = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 |
= \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} | = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} | ||
\vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}</math></li> | \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}</math></li> | ||
| Zeile 211: | Zeile 230: | ||
</div> | </div> | ||
| - | + | == C - Höhere Ableitungen == | |
| - | == Höhere Ableitungen == | + | |
Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet. | Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet. | ||
| - | Die zweite Ableitung schreibt man meistens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung als <math>f^{\,(3)}</math> schreibt, die vierte als <math>f^{\,(4)}</math> etc. | + | Die zweite Ableitung schreibt man meistens <math>f^{\, \prime \, \prime}</math>, während man die dritte Ableitung als <math>f^{\,(3)}</math> schreibt, die vierte als <math>f^{\,(4)}</math> etc. |
Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben. | Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben. | ||
| Zeile 225: | Zeile 243: | ||
<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br> | <li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br> | ||
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) | <math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) | ||
| - | = 3\,e^{x^2 -1} \ | + | = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x |
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br> | = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br> | ||
| - | <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \ | + | <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x |
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li> | = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li> | ||
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br> | <li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br> | ||
| Zeile 242: | Zeile 260: | ||
= e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) | = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) | ||
= 2\,e^x \cos x | = 2\,e^x \cos x | ||
| - | \vphantom{\ | + | \vphantom{\bigl(}</math><br> |
<math>\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) | <math>\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) | ||
| - | + | \vphantom{\Bigl(}</math> | |
| - | + | <math>\phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} | |
= 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) | = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) | ||
= 2\,e^x ( \cos x - \sin x )</math></li> | = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )</math></li> | ||
| Zeile 251: | Zeile 269: | ||
</div> | </div> | ||
| + | <br><br> | ||
| + | |||
| + | Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> | ||
| + | |||
| + | Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[1.2 Übungen|Übungen]]''' . | ||
Aktuelle Version
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches von Funktionen
- Die Ableitung verketteter Funktionen
- Höhere Ableitungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Die Produkt- und Quotientenregel
Mittels der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen herleiten:
Produkt- und Quotientenregel:
| \displaystyle \begin{align*}
\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt] \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^{\,\prime} &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
Dieselbe Regel in einer anderen Notation:
| \displaystyle \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= \bigl(\, \frac{d}{dx}\,f(x) \, \bigr) \, g(x) + f(x) \,\bigl(\,\frac{d}{dx}\, g(x) \bigr) \\[8pt]
\frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{\bigl( \frac{d}{dx}\,f(x) \bigr)\, g(x) - f(x)\, \bigl(\, \frac{d}{dx}\,g(x) \, \bigr)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
Beispiel 1
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x
= (2x +x^2)\,e^x\,.
- \displaystyle (x \sin x)^\prime = (x)^\prime \cdot \sin x + x\,(\sin x)^\prime = 1 \cdot \sin x + x\,\cos x
= \sin x + x \cos x\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1
= \ln x + 1 -1 = \ln x\,.
- \displaystyle (\tan x)^\prime = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^\prime
= \frac{ \cos x \, \cos x
- \sin x \, (-\sin x)}{(\cos x)^2}
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x}
= \frac{1}{\cos^2 x}\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x}
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}
= \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x}
= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,.
- \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x} &= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} \\ &= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2} \end{align}\,.
B - Ableitung von verketteten Funktionen
Die Funktion \displaystyle y(x)=f(g(x)) besteht aus einer inneren Funktion \displaystyle g und einer äußeren Funktion \displaystyle f . Um \displaystyle y(x) an einer Stelle \displaystyle x=x_0 zu berechnen, berechnet man zuerst \displaystyle g(x_0) und berechnet dann \displaystyle f(u_0) mit \displaystyle u_0 = g(x_0) . Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt \displaystyle y = f \circ g und spricht "f kringel g" oder "f nach g".
Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.
| \displaystyle y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\, g'(x)\,\mbox{.} |
Genau wie man sagt, dass die verkettete Funktion y aus einer äußeren Funktion f und einer inneren Funktion g besteht, sagt man auch, dass die Ableitung \displaystyle y^{\,\prime} das Produkt der äußere Ableitung \displaystyle f^{\,\prime} und der inneren Ableitung \displaystyle g' ist.
In einer anderen Notation lautet die Kettenregel:
| \displaystyle \frac{d}{dx} y(x) = \frac{d}{du} f(u) \Big|_{u=g(x)} \, \frac{d}{dx} g(x)\,\mbox{.} |
Nennen wir \displaystyle y=f(u) und \displaystyle u=g(x), verkürzt sich die Kettenregel zu
| \displaystyle \frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.} |
Beispiel 2
\displaystyle y(x)=(x^2 + 2x)^4 ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel:
| \displaystyle y=u^4 | die äußere Funktion und | \displaystyle u=x^2+2x | die innere Funktion. |
| \displaystyle \dfrac{dy}{du}=4u^3 | die äußere Ableitung und | \displaystyle \dfrac{du}{dx}=2x+2 | die innere Ableitung. |
Die Ableitung der Funktion y in Bezug auf x ist durch die Kettenregel gegeben
| \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}
= 4 u^3 \, (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \, (2x +2)\,\mbox{.} |
Wenn man mit verketteten Funktionen rechnet, benennt man die äußere und innere Ableitung meist nicht mit neuen Funktionen, sondern man sagt einfach
| \displaystyle (\text{Äußere Ableitung})
\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.} |
Vergiss nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.
Beispiel 3
- \displaystyle y(x) = \sin (3x^2 + 1)
\displaystyle \begin{array}{llll} \text{Äußere Funktion:} & f(u) = \sin u & \text{Äußere Ableitung:} & f^{\, \prime}(u) = \cos (u)\\ \text{Innere Funktion:} & g(x) = 3 x^2 +1 & \text{Innere Ableitung:} & g^{\, \prime}(x) = 6x \end{array}
\displaystyle \begin{align} y(x) &= f( g(x)) \\ y^{\,\prime}(x) &= f^{\, \prime}(g(x)) \, g^{\, \prime} (x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1) \end{align} - \displaystyle y = 5 \, e^{x^2}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\ \text{Innere Ableitung:} & 2x \end{array}
\displaystyle y' = 5 \, e^{x^2} \, 2x = 10x\, e^{x^2}
- \displaystyle f(x) = e^{x\, \sin x}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Äußere Ableitung:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)
- \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)
\displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
= \frac{d}{dx}\,e^{x\ln a}
= e^{x\ln a} \, \ln a
= a^x \, \ln a
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \cdot a \, \frac{1}{x} = x^a \cdot a \, x^{-1} = ax^{a-1}
Die Kettenregel kann mehrmals angewendet werden, um mehrfach verkettete Funktionen abzuleiten. Zum Beispiel hat die Funktion \displaystyle y(x) = f \bigl( g(h(x))\bigr) die Ableitung
| \displaystyle y'(x)= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.} |
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle \left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)\, \right)^{\, \prime}
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\,\left(\,(x^2 -3x)^4 \, \right)^{\, \prime}
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) \, \right)^{\, \prime} }{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \,\left( \,(x^2-3x) \, \right)^{\, \prime} \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\, \frac{d}{dx}\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
C - Höhere Ableitungen
Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.
Die zweite Ableitung schreibt man meistens \displaystyle f^{\, \prime \, \prime}, während man die dritte Ableitung als \displaystyle f^{\,(3)} schreibt, die vierte als \displaystyle f^{\,(4)} etc.
Mann kann auch \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f oder \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots schreiben.
Beispiel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\bigl(}
\displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
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