1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Mall:Vald flik|[[1.1 Inledning till derivata|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[1.1 Einführung zur Differentialrechnung|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[1.1 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[1.1 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Derivatans definition (översiktligt).
+
* Die Definition der Ableitung
-
* Derivatan av <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math>.
+
* Die Ableitungen von <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math>.
-
* Derivata av summa och differens.
+
* Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
-
* Tangent och normal till kurvor.
+
* Tangenten und Normalen.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
-
* Förstå derivatan <math>f^{\,\prime}(a)</math> som lutningen av kurvan <math>y&#061;f(x)</math> i punkten <math>x&#061;a</math>.
+
* Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(a)</math> der Funktion <math> f </math> ist die Steigung des Graphen von <math>f </math> an der Stelle <math>x = a</math>.
-
* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
+
* Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
-
* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> i <math>x&#061;0</math>).
+
* Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> an der Stelle <math>x&#061;0</math>).
-
* Kunna derivera <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math> samt summor/differenser av sådana termer.
+
* Wie man <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math> sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
-
* Kunna bestämma tangent och normal till kurvan <math>y&#061;f(x)</math>.
+
* Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
-
* Veta att derivatan kan betecknas med <math>f^{\,\prime}(x)</math> och <math>df/dx(x)</math>.
+
* Die Ableitung von <math> f </math> an der Stelle <math>x_0</math> wird mit <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> oder <math>\frac{df}{dx}(x_0)</math> bezeichnet.
}}
}}
-
== Inledning ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.
+
== A - Einführung ==
-
Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (<math>y</math>) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (<math>x</math>). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten
+
Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i @(i)y@(/i)-led}}{\text{skillnad i @(i)x@(/i)-led}}</math>}}
+
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}</math>.}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
 +
 
 +
Die linearen Funktionen <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=-2x</math> haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich <math>1</math> und <math>−2</math>.
 +
 
-
De linjära funktionerna <math>f(x)=x</math> respektive <math>g(x)=-2x</math> förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är <math>1</math> resp. <math>−2</math>, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.
 
<center>
<center>
{|
{|
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = x}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x'' har riktningskoefficient&nbsp;1.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''f''(''x'') = ''x'' hat die Steigung &nbsp;1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Grafen till ''g''(''x'') = - 2''x'' har riktningskoefficient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''g''(''x'') = - 2''x'' hat die Steigung &nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
|}
</center>
</center>
-
+
-
För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.
+
Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.
</div>
</div>
-
Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.
+
Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80&nbsp;km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.
-
 
+
-
Om en bil rör sig med hastigheten 80&nbsp;km/h så kan den tillryggalagda sträckan, ''s'' km, efter ''t'' timmar beskrivas med funktionen <math>s(t)=80 t</math>.
+
-
Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80&nbsp;km/h.
+
-
 
+
-
För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
För funktionen <math>f(x)=4x-x^2</math> är <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> och <math>f(4)=0</math>.
+
Für die Funktion <math>f(x)=4x-x^2</math> gilt, dass <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> und <math>f(4)=0</math>. Also sind <math> (1,3), (2,4) </math> und <math> (4,0) </math> Punkte des Graphen von <math> f </math>.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Medelförändringen (medellutningen) från <math>x = 1</math>
+
<li> Die Steigung der Sekante durch die Punkte <math> (1,3) </math> und <math> (2,4) </math> ist
-
till <math>x = 2</math> är
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu. </li>
-
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
+
-
och funktionen ökar i detta intervall.</li>
+
-
<li>Medelförändringen från <math>x = 2</math> till <math>x = 4</math> är
+
<li> Die Sekantensteigung von <math>x = 2</math> bis <math>x = 4</math> ist
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
-
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
+
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
-
och funktionen avtar i detta intervall.</li>
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.</li>
-
<li>Mellan <math>x = 1</math> och <math>x = 4</math> är medelförändringen
+
<li> Zwischen <math>x = 1</math> und <math>x = 4</math> ist die Sekantensteigung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
-
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.</li>
+
Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.</li>
</ol>
</ol>
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 2}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.</small>
|}
|}
</center>
</center>
-
</div>
 
-
== Derivatans definition ==
+
</div>
-
För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt ''P'', tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt ''Q'' i närheten av ''P'' och bildar ändringskvoten mellan ''P'' och ''Q'':
+
== B - Definition der Ableitung==
-
<center>{{:1.1 - Figur - Differenskvot mellan P och Q}}</center>
+
Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P''<math>=(x,f(x)) </math> zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen ''P'' und ''Q'':
-
'''Ändringskvoten'''
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
+
-
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
+
 +
'''Sekantensteigung'''
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
 +
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
-
Om vi låter ''Q'' närma sig ''P'' (dvs. låter <math>h \rightarrow 0</math>) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten ''P''. Vi kallar detta värde för ''derivatan'' av <math>f(x)</math> i punkten ''P'', vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av <math>f(x)</math> i punkten ''P''.
+
Wenn wir den Punkt ''Q'' immer näher dem Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f</math> im Punkt ''P'' oder (weil <math> P=(x,f(x)) </math>) an der Stelle <math> x </math>.
-
 
+
-
Derivatan av en funktion <math>f(x)</math> betecknas <math>f^{\,\prime}(x)</math> och kan formellt definieras så här:
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
''Derivatan'' av en funktion <math>f(x)</math>, definieras som
+
Die Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math> x </math> schreibt man als <math>f^{\,\prime}(x)</math>. Sie ist definiert als:
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
-
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
+
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-
Om <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existerar, säger man att <math>f(x)</math> är ''deriverbar'' i punkten <math>x=x_0</math>.
+
Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
</div>
</div>
-
Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.
+
Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.
 +
Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Derivata
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" | <math>f(x)</math>
| align="center" | <math>f(x)</math>
Zeile 145: Zeile 141:
|-
|-
| align="center" | <math>s(t)</math>
| align="center" | <math>s(t)</math>
-
| align="center" | <math>\dot s(t)</math>
+
| align="center" | <math>s^{\,\prime}(t)</math>
|}
|}
 +
== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==
-
== Derivatans tecken ==
+
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:
-
Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:
+
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> steigend ist.
-
 
+
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> fallend ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positiv lutning) medför att <math>f(x)</math> är växande.
+
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet, dass <math>f(x)</math> waagerecht ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negativ lutning) medför att <math>f(x)</math> är avtagande.
+
-
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (ingen lutning) medför att <math>f(x)</math> är stationär (horisontell).
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(2)=3\ </math> betyder att '''funktionens värde''' är
+
<li><math>f(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''der Wert der Funktion'''
-
<math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
+
<math>3</math> ist.</li>
-
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> betyder att '''derivatans värde'''
+
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''die Steigung der Funktion''' <math>3</math> ist.</li>
-
är <math>3</math> när <math>x=2</math>, vilket i sin tur betyder att
+
-
funktionens graf har lutningen <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
 
+
-
I figuren kan man utläsa att
+
 +
Aus der Abbildung sehen wir, dass
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 190: Zeile 182:
| width="30px" |
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g}}
+
{{:1.1 - Bild - Die Kurve von y = f(x) mit den Punkten x = a, b, c, d, e und g}}
|}
|}
</center>
</center>
-
Notera betydelsen av <math>f(x)</math> respektive <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
+
Beachte den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där <math>T(t)</math> är temperaturen i termosen efter <math>t</math> minuter. Skriv följande med matematiska symboler:
+
Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> Minuten ist gegeben. Wir erklären <math> T(t) </math> und <math> T^\prime(t)</math> umgangssprachlich.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Efter 10&nbsp;minuter är temperaturen 80°.<br><br>
+
<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>
-
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
+
<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10&nbsp;Minuten ist die Temperatur 80°.</li>
-
<li>Efter 2&nbsp;minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per
+
<li><math>T'(2)=-0{,}3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur <math> 0{,}3^\circ </math> pro Minute ab.<br>
-
minut.<br><br>
+
(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>
-
<math>T'(2)=-3</math> (temperaturen är avtagande, varför derivatan är
+
-
negativ)<br><br></li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Funktionen <math>f(x)=|x|</math> saknar derivata då <math>x=0</math>. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten <math>(0,0)</math> (se figuren nedan).
+
Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> nicht bestimmen (Siehe Abbildung).
-
Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "<math>f^{\,\prime}(0)</math> existerar inte" , "<math>f^{\,\prime}(0)</math> är ej definerad" eller "<math>f(x)</math> är inte deriverbar i <math>x=0</math>".
+
Man kann auch sagen, dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert oder nicht definiert ist.
-
<center>{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = beloppet av x}}</center>
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
-
<center><small>Grafen till funktionen ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
+
<center><small> Graph der Funktion ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
</div>
</div>
 +
== D - Ableitungen von Funktionen ==
-
== Deriveringsregler ==
+
Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
-
Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Om <math>f(x)=x^2</math> så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
+
Wenn <math>f(x)=x^2</math> ist, ist laut der Definition der Ableitung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
-
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
-
Om vi sedan låter <math>h</math> gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir <math>2x</math>. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan <math>y=x^2</math> är <math>2x</math>, dvs. derivatan av <math>x^2</math> är <math>2x</math>.
+
Lassen wir <math>h</math> sich Null nähern, erhalten wir <math>2x</math>. Also ist die Steigung der Funktion <math>y=x^2</math>, <math>2x</math> an der Stelle ''x''. Also ist die Ableitung von <math>x^2</math>, <math>2x</math>.
</div>
</div>
-
På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:
+
Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" |Funktion
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" |Derivata
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" |<math>x^n</math>
| align="center" |<math>x^n</math>
Zeile 266: Zeile 256:
|}
|}
 +
Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(f(x) +g(x))^{\,\prime}
 +
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
+
Und, wenn ''k'' eine Konstante ist, ist
-
{{Fristående formel||<math>D(f(x) +g(x))
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(k \, f(x))^{\,\prime}
-
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
Samt, om ''k'' är en konstant, att
+
-
{{Fristående formel||<math>D(k \cdot f(x))
+
-
= k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)
<li><math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)
Zeile 283: Zeile 272:
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
-
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ger att
+
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ergibt
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
Zeile 290: Zeile 279:
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
-
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ger att
+
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ergibt
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 297: Zeile 286:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ger att
+
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ergibt
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
-
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ger
+
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ergibt <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
-
att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
+
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
-
ger att <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
+
ergibt <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
-
= (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
+
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
-
<math>\qquad\quad</math> ger att <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
+
<math>\qquad\quad</math> ergibt <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 317: Zeile 305:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
-
Funktionen <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> har derivatan
+
Die Funktion <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> hat die Ableitung
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
-
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Detta betyder exempelvis att <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> och att <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Däremot är derivatan <math>f'(0)</math> inte definierad.
+
Also ist zum Beispiel <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> und <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Die Ableitung <math>f'(0)</math> ist aber nicht definiert.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Ett föremål rör sig enligt <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, där <math>s(t)</math> km är avståndet från startpunkten efter <math>t</math> timmar. Beräkna <math>s'(3)</math> och förklara vad värdet står för.
+
Ein Gegenstand bewegt sich so wie <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, wo <math>s(t)</math> km die Strecke des Gegenstandes nach <math>t</math> Stunden ist. Berechnen Sie <math>s'(3)</math> und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Tidsderivatan ges av
+
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
-
{{Fristående formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
-
\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
+
\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
-
= 8\,\mbox{.}</math>}}
+
= 8\,\mbox{.}</math>}}
-
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
+
Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
Totalkostnaden <math>T</math> kr för tillverkning av <math>x</math> gummidräkter ges av funktionen
+
Die Gesamtkosten <math>T</math> in Euro für die Herstellung von <math>x</math> Gegenständen sind
-
{{Fristående formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
-
\text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
+
\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Berechne und erkläre folgende Ausdrücke
-
Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
+
<br>
<br>
<br>
<br>
Zeile 359: Zeile 346:
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
= 83104\,</math>.<br>
= 83104\,</math>.<br>
-
Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.</li>
+
Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro. </li><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
-
Derivatan ges av <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x</math> och
+
Die Ableitung ist <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> und daher ist
-
därför är
+
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120
-
{{Fristående formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120
+
\approx 348\textrm{.}</math>}}
-
\approx 348</math>.}}
+
Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro. </li>
-
Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.</li>
+
</ol>
</ol>
Zeile 371: Zeile 357:
-
== Tangenter och normaler ==
+
== E - Tangenten und Normalen ==
-
En ''tangent'' till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.
+
Eine ''Tangente'' ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.
-
En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).
+
Eine ''Normale'' ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.
-
För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är <math>–1</math>, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas <math>k_T</math> och normalens <math>k_N</math> så är <math>k_T \cdot k_N = -1</math>. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.
+
Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung der Normalen <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 13'''
+
''' Beispiel 13'''
-
Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan <math>y=x^2 + 1</math> i punkten <math>(1,2)</math>.
+
Bestimme die Tangente der Funktion <math>y=x^2 + 1</math> im Punkt <math>(1,2)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Vi skriver tangentens ekvation som <math>y = kx + m</math>. Eftersom den ska tangera kurvan i <math>x=1</math> har vi att dess lutning ges av <math>k= y'(1)</math>, dvs.
+
Wir schreiben die Gleichung der Tangente <math>y = kx + m</math>. Nachdem die Gerade die Kurve bei <math>x=1</math> berührt, ist <math>k= y'(1)</math>, also
-
{{Fristående formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}
-
Tangentlinjen ska också passerar genom punkten <math>(1,2)</math> och därför måste <math>(1,2)</math> uppfylla tangentens ekvation
+
Nachdem die Tangente durch den Punkt <math>(1,2)</math> geht, haben wir
-
{{Fristående formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
-
m = 0</math>.}}
+
m = 0</math>.}}
-
Tangentens ekvation är alltså <math>y=2x</math>.
+
Die Tangente ist also <math>y=2x</math>.
 +
Die Steigung der Normalen ist <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
-
Riktningskoefficienten för normalen är <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
+
Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt <math>(1, 2)</math>, und daher ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
 +
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
-
Vidare går normalen också genom punkten <math>(1, 2)</math> , dvs.
+
Die Normale ist also <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
-
{{Fristående formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
 
-
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
 
-
Normalen har ekvationen <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
 
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Tangente y = 2x}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Normale y = (5 - x)/2}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Tangentlinjen <math>y=2x</math></small>
+
| align="center" |<small>Tangente <math>y=2x</math></small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Normallinjen <math>y=(5-x)/2</math></small>
+
| align="center" |<small>Normale <math>y=\frac{5-x}{2}</math></small>
|}
|}
</center>
</center>
 +
 +
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 14'''
+
''' Beispiel 14'''
-
Kurvan <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> har en tangent vars riktningskoefficient är <math>–1</math>. Bestäm tangeringspunkten.
+
Die Kurve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> hat eine Tangente mit der Steigung <math>–1</math>. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.
<br>
<br>
<br>
<br>
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="90%" |
| width="90%" |
-
Derivatan av högerledet är <math>y' = 2 \, e^x -3</math> och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med <math>-1</math>, dvs.
+
Die Ableitung ist <math>y' = 2 \, e^x -3</math> und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung <math>-1</math> sein, also
-
<math>y' = -1</math>, och detta ger oss ekvationen
+
<math>y' = -1</math>. Wir erhalten dadurch
-
{{Fristående formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
-
som har lösningen <math>x=0</math>. I punkten <math>x=0</math> har kurvan <math>y</math>-värdet <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math> och därmed är tangeringspunkten <math>(0,2)</math>.
+
mit der Lösung <math> x=0</math>. An der Stelle <math>x=0</math> hat die Kurve den <math>y</math>-Wert <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math>, und daher ist der tangentiale Punkt <math>(0,2)</math>.
| width="10%" |
| width="10%" |
-
||{{:1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)}}
+
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}
|}
|}
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normalen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) der Funktion \displaystyle f ist die Steigung des Graphen von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x = a.
  • Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
  • Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert an der Stelle \displaystyle x=0).
  • Wie man \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
  • Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
  • Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x_0 wird mit \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) oder \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0) bezeichnet.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}.

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.


[Image]

[Image]

Graph von f(x) = x hat die Steigung  1. Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach t Stunden s= 80 t km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also \displaystyle s(t)=80 t. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt, dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0. Also sind \displaystyle (1,3), (2,4) und \displaystyle (4,0) Punkte des Graphen von \displaystyle f .

  1. Die Steigung der Sekante durch die Punkte \displaystyle (1,3) und \displaystyle (2,4) ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}

    = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}

    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}

    = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}

    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.


B - Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P\displaystyle =(x,f(x)) zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}

= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f im Punkt P oder (weil \displaystyle P=(x,f(x)) ) an der Stelle \displaystyle x .

Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x schreibt man als \displaystyle f^{\,\prime}(x). Sie ist definiert als:

\displaystyle f^{\,\prime}(x)

= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Wenn für ein \displaystyle x_0 der Grenzwert \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x=x_0 differenzierbar ist.

Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für \displaystyle h nach Null", den man als \displaystyle \lim_{h \to 0} schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von \displaystyle h gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass \displaystyle h immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle s^{\,\prime}(t)

C - Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) steigend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) fallend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet, dass \displaystyle f(x) waagerecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 die Steigung der Funktion \displaystyle 3 ist.

Beispiel 4

Aus der Abbildung sehen wir, dass

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

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Beachte den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Wir erklären \displaystyle T(t) und \displaystyle T^\prime(t) umgangssprachlich.

  1. \displaystyle T(0)=85 : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.
  2. \displaystyle T(10)=80 : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.
  3. \displaystyle T'(2)=-0{,}3 : Zum Zeitpunkt \displaystyle t=2 nimmt die Temperatur \displaystyle 0{,}3^\circ pro Minute ab.
    (Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist an der Stelle \displaystyle x=0 nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) nicht bestimmen (Siehe Abbildung).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

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Graph der Funktion f(x) = |x|

D - Ableitungen von Funktionen

Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}

= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich Null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x an der Stelle x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle (f(x) +g(x))^{\,\prime}

= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle (k \, f(x))^{\,\prime}

= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}

= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad

\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad

\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechne und erkläre folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
    Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.


  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120

    \approx 348\textrm{.}

    Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro.


E - Tangenten und Normalen

Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.

Eine Normale ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.

Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.


Beispiel 13

Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad

m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m

\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normale \displaystyle y=\frac{5-x}{2}


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung \displaystyle -1 sein, also \displaystyle y' = -1. Wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. An der Stelle \displaystyle x=0 hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2).

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