1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Definition of the derivative (overview).
+
* Die Definition der Ableitung
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* Derivative of <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> and <math>\tan x</math>.
+
* Die Ableitungen von <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math>.
-
* Derivative of sums and differences.
+
* Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
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* Tangents and normals to curves.
+
* Tangenten und Normalen.
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* That the first derivative <math>f^{\,\prime}(a)</math> is the gradient of the curve <math>y&#061;f(x)</math> at the point <math>x&#061;a</math>.
+
* Die Ableitung <math>f^{\,\prime}(a)</math> der Funktion <math> f </math> ist die Steigung des Graphen von <math>f </math> an der Stelle <math>x = a</math>.
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* That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
+
* Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
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* That there are functions that are not differentiable (such as <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> at <math>x&#061;0</math>).
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* Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> an der Stelle <math>x&#061;0</math>).
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* To differentiate <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> and <math>\tan x</math> as well as the sums / differences of such terms.
+
* Wie man <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> und <math>\tan x</math> sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
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* To determine the tangent and normal to the curve <math>y&#061;f(x)</math>.
+
* Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
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* That the derivative can be denoted by <math>f^{\,\prime}(x)</math> or <math>df/dx(x)</math>.
+
* Die Ableitung von <math> f </math> an der Stelle <math>x_0</math> wird mit <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> oder <math>\frac{df}{dx}(x_0)</math> bezeichnet.
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}}
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== Introduction ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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When studying mathematical functions and their graphs one of the main areas of study of a function is the way it changes, i.e. whether a function is increasing or decreasing and the rate at which this is taking place.
+
== A - Einführung ==
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Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.
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One makes use of the concept rate of change (or speed of change), which is a measure of how the value of the function (<math>y</math>) is changing per unit increase in the variable (<math>x</math>). If one knows two points on a graph of a function one can get a measure of the rate of change of the function between these points by calculating the increment ratio
+
Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{increment in @(i)y@(/i)}}{\text{increment in@(i)x@(/i)}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}</math>.}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
The linear functions <math>f(x)=x</math> and <math>g(x)=-2x</math> change by the same amount everywhere. Their rates of change are <math>1</math> and. <math>−2</math>, which are the gradients of these straight lines.
+
Die linearen Funktionen <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=-2x</math> haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich <math>1</math> und <math>−2</math>.
-
 
+
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| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Graph of ''f''(''x'') = ''x'' has gradient&nbsp;1.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''f''(''x'') = ''x'' hat die Steigung &nbsp;1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Graph of ''g''(''x'') = - 2''x'' has gradient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
+
| align="center" |<small>Graph von ''g''(''x'') = - 2''x'' hat die Steigung &nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
|}
</center>
</center>
-
+
-
Thus for a linear function the rate of change is the same as the gradient.
+
Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.
</div>
</div>
-
If a car is moving at a speed of 80&nbsp;km/h then the distance traveled, ''s'' km, after ''t'' hours is given by the function <math>s(t)=80 t</math>.
+
Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80&nbsp;km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.
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The rate of change of the function indicates how the value of the function is changing per hour, which of course is the same as the car's speed, 80&nbsp;km/h.
+
-
 
+
-
For non-linear functions however, the gradient of the graph of the function (that is, the function's rate of change) varies from point to point. We can either give the function's average (mean) rate of change between two points on the curve of the function, or the instantaneous rate of change at one point on the curve. The mean rate of change is fairly easy to calculate; how to calculate the instantaneous rate of change forms the main focus of this section.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
For the function <math>f(x)=4x-x^2</math> one has <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> and <math>f(4)=0</math>.
+
Für die Funktion <math>f(x)=4x-x^2</math> gilt, dass <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> und <math>f(4)=0</math>. Also sind <math> (1,3), (2,4) </math> und <math> (4,0) </math> Punkte des Graphen von <math> f </math>.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Mean rate of change (mean gradient) from <math>x = 1</math>
+
<li> Die Steigung der Sekante durch die Punkte <math> (1,3) </math> und <math> (2,4) </math> ist
-
to <math>x = 2</math> is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu. </li>
-
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
+
-
and the function increases in this interval. </li>
+
-
<li> Mean rate of change from <math>x = 2</math> to <math>x = 4</math> is
+
<li> Die Sekantensteigung von <math>x = 2</math> bis <math>x = 4</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
-
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
+
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
-
and the function decreases in this interval.</li>
+
und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.</li>
-
<li> Between <math>x = 1</math> and <math>x = 4</math> the mean rate of change is
+
<li> Zwischen <math>x = 1</math> und <math>x = 4</math> ist die Sekantensteigung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
-
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
On average, the function decreases in this interval, although the function both increases and decreases within this interval.t.</li>
+
Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.</li>
</ol>
</ol>
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| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 2 the function has the mean rate of change 1/1 = 1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 4 the function has the mean rate of change (-3)/3 = -1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.</small>
|}
|}
</center>
</center>
Zeile 106: Zeile 101:
</div>
</div>
 +
== B - Definition der Ableitung==
-
==Definition of the derivative ==
+
Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P''<math>=(x,f(x)) </math> zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen ''P'' und ''Q'':
-
 
+
-
To calculate the instantaneous rate of change of a function, that is, the gradient of its curve at a point ''P'', we temporarily use an additional point ''Q'' in the vicinity of ''P'' and construct the increment ratio between ''P'' and ''Q'':
+
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
-
'''Increment ratio'''
+
'''Sekantensteigung'''
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
-
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Wenn wir den Punkt ''Q'' immer näher dem Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f</math> im Punkt ''P'' oder (weil <math> P=(x,f(x)) </math>) an der Stelle <math> x </math>.
-
If we allow ''Q'' to approach ''P'' (that is allow <math>h \rightarrow 0</math>) we can work out what the value would be if the points coincided, and thus obtain the gradient at the point ''P''. We call this value ''the derivative'' of <math>f(x)</math> at the point ''P''; it can be interpreted as the instantaneous rate of change of <math>f(x)</math> at the point ''P''.
+
-
 
+
-
The derivative of a function <math>f(x)</math> is written as <math>f^{\,\prime}(x)</math> and may be formally defined as follows:
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
''The derivative'' of a function <math>f(x)</math>, is defined as
+
Die Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math> x </math> schreibt man als <math>f^{\,\prime}(x)</math>. Sie ist definiert als:
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
-
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
+
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-
If <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> exists, one says that <math>f(x)</math> is ''differentiable'' at the point <math>x=x_0</math>.
+
Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
</div>
</div>
-
Different notations for the derivative are used, for example,
+
Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.
 +
 
 +
Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" | <math>f(x)</math>
| align="center" | <math>f(x)</math>
Zeile 148: Zeile 141:
|-
|-
| align="center" | <math>s(t)</math>
| align="center" | <math>s(t)</math>
-
| align="center" | <math>\dot s(t)</math>
+
| align="center" | <math>s^{\,\prime}(t)</math>
|}
|}
 +
== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==
-
== The sign of the derivative ==
+
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:
-
The sign of the derivative (+/−) tells us if the function's graph slopes upwards or downwards, that is, if the function is increasing or decreasing:
+
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> steigend ist.
-
 
+
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> fallend ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive gradient) means that <math>f(x)</math> is increasing.
+
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet, dass <math>f(x)</math> waagerecht ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative gradient) means that <math>f(x)</math> is decreasing.
+
-
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (gradient zero) means that <math>f(x)</math> is stationary (horizontal).
+
Zeile 165: Zeile 157:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(2)=3\ </math> means that '''the value of the function''' is
+
<li><math>f(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''der Wert der Funktion'''
-
<math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
<math>3</math> ist.</li>
-
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math>means that '''the value of the derivative'''
+
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> bedeutet, dass in <math>x=2</math> '''die Steigung der Funktion''' <math>3</math> ist.</li>
-
is <math>3</math> when <math>x=2</math>, which in turn means that the
+
-
function's graph has a gradient <math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 176: Zeile 166:
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
From the figure one can obtain that
+
Aus der Abbildung sehen wir, dass
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 192: Zeile 182:
| width="30px" |
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:1.1 - Figure - The graph of y = f(x) with points x = a, b, c, d, e and g}}
+
{{:1.1 - Bild - Die Kurve von y = f(x) mit den Punkten x = a, b, c, d, e und g}}
|}
|}
</center>
</center>
-
Note the different meanings of <math>f(x)</math> and <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
+
Beachte den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
</div>
</div>
Zeile 203: Zeile 193:
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
The temperature in a thermos is given by a function, where <math>T(t)</math> is the temperature of the thermos after <math>t</math> minutes. Interpret the following using mathematical symbols:
+
Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> Minuten ist gegeben. Wir erklären <math> T(t) </math> und <math> T^\prime(t)</math> umgangssprachlich.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> After 10&nbsp;minutes the temperature is 80°.<br><br>
+
<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>
-
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
+
<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10&nbsp;Minuten ist die Temperatur 80°.</li>
-
<li> After 2&nbsp;minutes the temperature is dropping in the thermos by 3° per minute <br><br>
+
<li><math>T'(2)=-0{,}3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur <math> 0{,}3^\circ </math> pro Minute ab.<br>
-
<math>T'(2)=-3</math> (the temperature is decreasing, which is why the derivative is negative)<br><br></li>
+
(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 216: Zeile 206:
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
The function <math>f(x)=|x|</math> does not have a derivative at <math>x=0</math>. One cannot determine how the graph of the function slopes at the point <math>(0,0)</math> (see figure below).
+
Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> nicht bestimmen (Siehe Abbildung).
-
One can express this, for example, in one of the following ways:"<math>f^{\,\prime}(0)</math> does not exist", "<math>f^{\,\prime}(0)</math> is not defined " or "<math>f(x)</math> is not differentiable at <math>x=0</math>".
+
Man kann auch sagen, dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert oder nicht definiert ist.
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
<center>{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = ∣x∣}}</center>
-
<center><small> graph of the function ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
+
<center><small> Graph der Funktion ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>
</div>
</div>
 +
== D - Ableitungen von Funktionen ==
-
== Differentiation rules ==
+
Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.
-
 
+
-
Using the definition of differentiation one can determine the derivatives for the standard types of functions.
+
Zeile 234: Zeile 223:
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
If <math>f(x)=x^2</math> then, according to the definition of the increment ratio
+
Wenn <math>f(x)=x^2</math> ist, ist laut der Definition der Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
-
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
+
= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
-
If we then let <math>h</math> go to zero, we see that the gradient at the point becomes <math>2x</math>. We have thus shown that the gradient of an arbitrary point on the curve <math>y=x^2</math> is <math>2x</math>. That is, the derivative of <math>x^2</math> is <math>2x</math>.
+
Lassen wir <math>h</math> sich Null nähern, erhalten wir <math>2x</math>. Also ist die Steigung der Funktion <math>y=x^2</math>, <math>2x</math> an der Stelle ''x''. Also ist die Ableitung von <math>x^2</math>, <math>2x</math>.
</div>
</div>
-
In a similar way, we can deduce general differentiation rules:
+
Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" |<math>x^n</math>
| align="center" |<math>x^n</math>
Zeile 267: Zeile 256:
|}
|}
 +
Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(f(x) +g(x))^{\,\prime}
 +
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
In addition, for sums and differences of expressions of functions one has
+
Und, wenn ''k'' eine Konstante ist, ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>D(f(x) +g(x))
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(k \, f(x))^{\,\prime}
-
= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
Additionally, if ''k'' is a constant, then
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>D(k \, f(x))
+
-
= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}
+
Zeile 283: Zeile 271:
= 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x</math><br>
= 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x</math><br>
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
<math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{}
-
= 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x</math></li>
+
= 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li>
-
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> gives that
+
<li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ergibt
-
<math>\quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x
+
<math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
= \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
<li><math>\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr)
<li><math>\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr)
= \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr)
= \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr)
-
= \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2
+
= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
-
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> gives that
+
<li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ergibt
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
<math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 300: Zeile 288:
''' Beispiel 9'''
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> gives that
+
<li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ergibt
-
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2}
+
<math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2}
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
= -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
-
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> gives that <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3}
+
<li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ergibt <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3}
-
= -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
+
= -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
<li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math>
-
gives that<math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
+
ergibt <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
<li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2
-
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
+
= (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
= x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
-
<math>\qquad\quad</math> gives that<math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
+
<math>\qquad\quad</math> ergibt <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3}
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
= 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>
</ol>
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''' Beispiel 10'''
''' Beispiel 10'''
-
The function <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> has the derivative
+
Die Funktion <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> hat die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
-
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
-
This means, for example, that <math>f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> and that <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. However, the derivative <math>f'(0)</math> is not defined.
+
Also ist zum Beispiel <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> und <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Die Ableitung <math>f'(0)</math> ist aber nicht definiert.
</div>
</div>
Zeile 331: Zeile 319:
''' Beispiel 11'''
''' Beispiel 11'''
-
An object moves according to <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, where <math>s(t)</math> km is the distance from the starting point after <math>t</math> hours. Calculate <math>s'(3)</math> and explain what the value stands for.
+
Ein Gegenstand bewegt sich so wie <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, wo <math>s(t)</math> km die Strecke des Gegenstandes nach <math>t</math> Stunden ist. Berechnen Sie <math>s'(3)</math> und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Differentiating with respect to the time
+
Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
{{Abgesetzte Formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
-
\text{which gives that}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
+
\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5
-
= 8\,\mbox{.}</math>}}
+
= 8\,\mbox{.}</math>}}
-
This might suggest that after 3 hours the object's speed is 8 km/h.
+
Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.
</div>
</div>
Zeile 347: Zeile 335:
''' Beispiel 12'''
''' Beispiel 12'''
-
The total cost <math>T</math> dollars for the manufacture of <math>x</math> objects is given by the function
+
Die Gesamtkosten <math>T</math> in Euro für die Herstellung von <math>x</math> Gegenständen sind
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
{{Abgesetzte Formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
-
\text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
+
\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
Berechne und erkläre folgende Ausdrücke
-
Calculate and explain the meaning of the following expressions.
+
<br>
<br>
<br>
<br>
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>T(120)</math><br><br>
<li><math>T(120)</math><br><br>
-
<math>T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2
+
<math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2
= 83104\,</math>.<br>
= 83104\,</math>.<br>
-
The total cost to manufacture 120 objects is 83104 dollars.</li>
+
Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro. </li><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
<li><math>T'(120)</math><br><br>
-
The derivative is given by <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> and
+
Die Ableitung ist <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x</math> und daher ist
-
therefore, is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120
-
{{Abgesetzte Formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120
+
\approx 348\textrm{.}</math>}}
-
\approx 348\textrm{.}</math>}}
+
Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro. </li>
-
Marginal costs ("the cost to produce an additional 1 object") of 120 manufactured objects is approximately 348 dollars. </li>
+
</ol>
</ol>
Zeile 371: Zeile 357:
-
== Tangents and normals ==
+
== E - Tangenten und Normalen ==
-
A ''tangent'' to a curve is a straight line tangential to the curve.
+
Eine ''Tangente'' ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.
-
A ''normal'' to a curve at a point on the curve is a straight line that is perpendicular to the curve at the
+
Eine ''Normale'' ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.
-
point (and hence perpendicular to the curve's tangent at this point).
+
-
For perpendicular lines, the product of their gradients is <math>–1</math>, i.e. if the tangents gradient is <math>k_T</math> and the normals is <math>k_N</math> then <math>k_T \, k_N = -1</math>. Since we can determine the gradient of a curve with the help of the derivative, we can also determine the equation of a tangent or a normal, if we know the equation for the curve.
+
Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung der Normalen <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.
Zeile 384: Zeile 369:
''' Beispiel 13'''
''' Beispiel 13'''
-
Determine the equation for the tangent and the normal to the curve <math>y=x^2 + 1</math> at the point <math>(1,2)</math>.
+
Bestimme die Tangente der Funktion <math>y=x^2 + 1</math> im Punkt <math>(1,2)</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We write the tangents equation as <math>y = kx + m</math>. Since it is to tangent (touch) the curve at <math>x=1</math> it must have a gradient of <math>k= y'(1)</math>, i.e.
+
Wir schreiben die Gleichung der Tangente <math>y = kx + m</math>. Nachdem die Gerade die Kurve bei <math>x=1</math> berührt, ist <math>k= y'(1)</math>, also
-
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}
-
The tangent also passes through the point <math>(1,2)</math> and therefore <math>(1,2)</math> must satisfy the tangents equation
+
Nachdem die Tangente durch den Punkt <math>(1,2)</math> geht, haben wir
-
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
-
m = 0</math>.}}
+
m = 0</math>.}}
-
The tangents equation is thus <math>y=2x</math>.
+
Die Tangente ist also <math>y=2x</math>.
 +
Die Steigung der Normalen ist <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
-
The gradient of the normal is <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .
+
Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt <math>(1, 2)</math>, und daher ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m
 +
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
-
In addition, the normal also passes through the point <math>(1, 2)</math> , i.e.
+
Die Normale ist also <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
-
 
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>2= -\frac{1}{2}\times 1 + m
+
-
\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}
+
-
 
+
-
The normal has the equation <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.
+
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<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
-
| align="center" |{{:1.1 - Figure - The tangent y = 2x}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Tangente y = 2x}}
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |{{:1.1 - Figure - The normal y = (5 - x)/2}}
+
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Normale y = (5 - x)/2}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Tangent <math>y=2x</math></small>
+
| align="center" |<small>Tangente <math>y=2x</math></small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Normal <math>y=(5-x)/2</math></small>
+
| align="center" |<small>Normale <math>y=\frac{5-x}{2}</math></small>
|}
|}
</center>
</center>
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''' Beispiel 14'''
''' Beispiel 14'''
-
The curve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> has a tangent with a gradient of <math>–1</math>. Determine the point of tangency (where the tangent touches the curve).
+
Die Kurve <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> hat eine Tangente mit der Steigung <math>–1</math>. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.
<br>
<br>
<br>
<br>
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="90%" |
| width="90%" |
-
The derivative of the right-hand side is <math>y' = 2 \, e^x -3</math> and at the point of tangency the derivative must be equal to <math>-1</math>, that is,
+
Die Ableitung ist <math>y' = 2 \, e^x -3</math> und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung <math>-1</math> sein, also
-
<math>y' = -1</math>, and this gives us the equation
+
<math>y' = -1</math>. Wir erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
-
which has a solution <math> x=0</math>. At the point <math>x=0</math> the curve has <math>y</math>-value <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2</math> and therefore the point of tangency is <math>(0,2)</math>.
+
mit der Lösung <math> x=0</math>. An der Stelle <math>x=0</math> hat die Kurve den <math>y</math>-Wert <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math>, und daher ist der tangentiale Punkt <math>(0,2)</math>.
| width="10%" |
| width="10%" |
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}
||{{:1.1 - Bild - Die Kurve y = 2e^x - 3x und ihre Tangente im punkt (0,2)}}
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normalen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) der Funktion \displaystyle f ist die Steigung des Graphen von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x = a.
  • Die Ableitung beschreibt eine momentane Veränderung einer Funktion.
  • Die Ableitung ist nicht immer definiert (wie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert an der Stelle \displaystyle x=0).
  • Wie man \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen davon ableitet.
  • Wie man die Tangente und die Normale einer Funktion bestimmt.
  • Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x_0 wird mit \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) oder \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0) bezeichnet.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder fallend ist und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte des Graphen, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in @(i)x@(/i)}}.

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.


[Image]

[Image]

Graph von f(x) = x hat die Steigung  1. Graph von g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach t Stunden s= 80 t km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also \displaystyle s(t)=80 t. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt, dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0. Also sind \displaystyle (1,3), (2,4) und \displaystyle (4,0) Punkte des Graphen von \displaystyle f .

  1. Die Steigung der Sekante durch die Punkte \displaystyle (1,3) und \displaystyle (2,4) ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{2-1} = \frac{1}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}

    = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}

    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}

    = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}

    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.


B - Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P\displaystyle =(x,f(x)) zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}

= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q immer näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f im Punkt P oder (weil \displaystyle P=(x,f(x)) ) an der Stelle \displaystyle x .

Die Ableitung von \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x schreibt man als \displaystyle f^{\,\prime}(x). Sie ist definiert als:

\displaystyle f^{\,\prime}(x)

= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Wenn für ein \displaystyle x_0 der Grenzwert \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f an der Stelle \displaystyle x=x_0 differenzierbar ist.

Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für \displaystyle h nach Null", den man als \displaystyle \lim_{h \to 0} schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von \displaystyle h gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass \displaystyle h immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle s^{\,\prime}(t)

C - Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) steigend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) fallend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet, dass \displaystyle f(x) waagerecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ bedeutet, dass in \displaystyle x=2 die Steigung der Funktion \displaystyle 3 ist.

Beispiel 4

Aus der Abbildung sehen wir, dass

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachte den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Wir erklären \displaystyle T(t) und \displaystyle T^\prime(t) umgangssprachlich.

  1. \displaystyle T(0)=85 : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.
  2. \displaystyle T(10)=80 : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.
  3. \displaystyle T'(2)=-0{,}3 : Zum Zeitpunkt \displaystyle t=2 nimmt die Temperatur \displaystyle 0{,}3^\circ pro Minute ab.
    (Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist an der Stelle \displaystyle x=0 nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) nicht bestimmen (Siehe Abbildung).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

[Image]

Graph der Funktion f(x) = |x|

D - Ableitungen von Funktionen

Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}

= \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich Null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x an der Stelle x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle (f(x) +g(x))^{\,\prime}

= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle (k \, f(x))^{\,\prime}

= k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}

= 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad

\text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen sind

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad

\text{für} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechne und erkläre folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,.
    Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen sind 83.104 Euro.


  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \cdot 120

    \approx 348\textrm{.}

    Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen sind ungefähr 348 Euro.


E - Tangenten und Normalen

Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.

Eine Normale ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.

Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.


Beispiel 13

Bestimme die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 berührt, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad

m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m

\quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normale \displaystyle y=\frac{5-x}{2}


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimme die Stelle, wo die Kurve die Tangente berührt.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 und an der gesuchten Stelle muss die Ableitung \displaystyle -1 sein, also \displaystyle y' = -1. Wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. An der Stelle \displaystyle x=0 hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2).

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