Lösung 3.3:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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This is a typical binomial equation which we solve in polar form.
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Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen
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We write
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-
i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,
+
i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and, on using de Moivre's formula, the equation becomes
+
Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Both sides are equal when
+
Die beiden Seiten sind gleich, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
-
2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
+
2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
which gives that
+
und wir erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt]
r &= 1\,,\\[5pt]
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\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
When <math>n=0</math> and <math>n=1</math>, we get two different arguments for
+
Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
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<math>\alpha</math>, whilst different values of <math>n</math> only give these arguments plus/minus a multiple of <math>2\pi</math>.
+
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The solutions to the equation are
+
Die Wurzeln sind daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
-
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)
+
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)
\end{align}\right.
\end{align}\right.
=
=

Aktuelle Version

Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,. \end{align}

Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir

\displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich, wenn

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^2 &= 1\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)} \end{align}\right.

und wir erhalten dadurch

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

Wenn \displaystyle n=0 und \displaystyle n=1, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere \displaystyle n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi im Argument unterscheiden.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt] &-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

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