Lösung 3.3:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
This is a typical binomial equation which we solve in polar form.
+
Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen
-
We write
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
 +
i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,.
 +
\end{align}</math>}}
 +
Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-
& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
+
-
& i=1\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Die beiden Seiten sind gleich, wenn
-
and, on using de Moivre's formula, the equation becomes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
r^2 &= 1\,,\\[5pt]
 +
2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
und wir erhalten dadurch
-
<math>r^{2}\left( \cos 2\alpha +i\sin 2\alpha \right)=1\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
r &= 1\,,\\[5pt]
 +
\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
-
Both sides are equal when
+
Die Wurzeln sind daher
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
-
r^{2}=1 \\
+
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)
-
2\alpha =\frac{\pi }{2}+2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
\end{align}\right.
-
\end{array} \right.</math>
+
=
-
 
+
\left\{\begin{align}
-
 
+
&\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt]
-
which gives that
+
&-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}\right.</math>}}
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
r=1 \\
+
-
\alpha =\frac{\pi }{4}+n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
When
+
-
<math>n=0</math>
+
-
and
+
-
<math>n=\text{1}</math>, we get two different arguments for
+
-
<math>\alpha </math>, whilst different values of
+
-
<math>n</math>
+
-
only give these arguments plus/minus a multiple of
+
-
<math>2\pi </math>.
+
-
 
+
-
The solutions to the equation are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
\ 1\centerdot \left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right) \\
+
-
\ 1\centerdot \left( \cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4} \right) \\
+
-
\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
\ \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\
+
-
\ -\frac{1+i}{\sqrt{2}} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+

Aktuelle Version

Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,. \end{align}

Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir

\displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich, wenn

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^2 &= 1\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)} \end{align}\right.

und wir erhalten dadurch

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

Wenn \displaystyle n=0 und \displaystyle n=1, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere \displaystyle n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi im Argument unterscheiden.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt] &-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

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