Lösung 3.3:4a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] | ||
| + | i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,. | ||
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| + | Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Die beiden Seiten sind gleich, wenn | ||
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| + | und wir erhalten dadurch | ||
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| + | Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden. | ||
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| + | Die Wurzeln sind daher | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align} | ||
| + | &1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] | ||
| + | &1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) | ||
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| + | = | ||
| + | \left\{\begin{align} | ||
| + | &\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt] | ||
| + | &-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}\right.</math>}} | ||
Aktuelle Version
Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen
| \displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,. \end{align} |
Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir
| \displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.} |
Die beiden Seiten sind gleich, wenn
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r^2 &= 1\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)} \end{align}\right. |
und wir erhalten dadurch
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right. |
Wenn \displaystyle n=0 und \displaystyle n=1, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere \displaystyle n erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi im Argument unterscheiden.
Die Wurzeln sind daher
| \displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt] &-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
