Lösung 1.3:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The function has zero derivative at three points, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=c</math> (see picture below), which are therefore the critical points of the function.
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Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=-2</math>, <math>x=-1</math> und <math>x=\tfrac{1}{2}</math> (siehe Bild). Das sind die stationären Stellen.
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[[Image:1_3_1_c1.gif|center]]
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<center>{{:1.3.1c - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
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The point <math>x=b</math> is an inflexion point because the derivative is positive in a neighbourhood both to the left and right.
 
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At the left endpoint of the interval of definition and at <math>x=c</math>, the function has local maximum points , because the function takes lower values at all points in the vicinity of these points. At the point <math>x=a</math> and the right endpoint, the function has local minimum points.
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An der Stelle <math>x=-1</math> hat die Funktion einen Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.
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Also, we see that <math>x=c</math> is a global maximum (the function takes its largest value there) and the right endpoint is a global minimum.
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Am linken Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=\tfrac{1}{2}</math> hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=-2</math> hat die Funktion lokale Minima.
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[[Image:1_3_1_c2.gif|center]]
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Von diesen Stellen ist im linken Rand des Definitionsbereiches das globale Maximum und an der Stelle <math>x=-2</math> das globale Minimum.
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Between the left endpoint and <math>x=a</math>, as well as between <math>x=c</math>
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<center>{{:1.3.1c - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>
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and the right endpoint, the function is strictly decreasing (the larger <math>x</math> is, the smaller <math>f(x)</math> becomes), whilst the function is strictly increasing between <math>x=a</math> and <math>x=c</math> (the graph flattens out at <math>x=b</math>, but it isn't constant there).
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[[Image:1_3_1_c3.gif|center]]
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Zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und der Stelle <math>x=-2</math> sowie zwischen <math>x=\tfrac{1}{2}</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=-2</math> und <math>x=\tfrac{1}{2}</math> ist.
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{| align="center"
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||{{:1.3.1c - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}
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|width="20px"|&nbsp;
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||{{:1.3.1c - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}
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|-
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|align="center"|<small>streng monoton fallend</small>
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||
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|align="center"|<small>streng monoton steigend</small>
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|}

Aktuelle Version

Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; \displaystyle x=-2, \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=\tfrac{1}{2} (siehe Bild). Das sind die stationären Stellen.

[Image]


An der Stelle \displaystyle x=-1 hat die Funktion einen Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

Am linken Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle \displaystyle x=\tfrac{1}{2} hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle \displaystyle x=-2 hat die Funktion lokale Minima.

Von diesen Stellen ist im linken Rand des Definitionsbereiches das globale Maximum und an der Stelle \displaystyle x=-2 das globale Minimum.

[Image]


Zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und der Stelle \displaystyle x=-2 sowie zwischen \displaystyle x=\tfrac{1}{2} und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=\tfrac{1}{2} ist.

[Image]

 

[Image]

streng monoton fallend streng monoton steigend
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