Lösung 3.3:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
As usual we begin by completing the square,
+
Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,.
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>, erhalten wir die Gleichung
-
& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1+3i}{2} \right)^{2}-4+3i=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4}+\frac{3}{2}i+\frac{9}{4}i^{2} \right)-4+3i=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}i+\frac{9}{4}-4+3i=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-2+\frac{3}{2}i=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
-
and if we treat as unknown, we have the equation's
+
Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.
 +
Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung
-
<math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}
 +
und wir erweitern die linke Seite
-
Up until now, we have solved binomial equations of this type by going over to polar form, but if we were to do that in this case, we would have a problem with determining the exact value of the argument of the right-hand side. Instead, we put
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>w=x+iy</math>
+
-
and try to obtain
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>
+
-
from the equation.
+
-
With
+
Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen
-
<math>w=x+iy</math>, the equation becomes
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x^2-y^2 &= 2\\[5pt]
 +
2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left( x+iy \right)^{2}=2-\frac{3}{2}i</math>
+
Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>.}}
-
and, with the left-hand side expanded,
+
Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>,}}
-
<math>x^{2}-y^{2}+2xyi=2-\frac{3}{2}i</math>
+
also
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
If we set the real and imaginary part of both sides equal, we obtain the equation system
+
Jetzt haben wir drei Gleichungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt]
 +
2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt]
 +
x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir
-
x^{2}-y^{2}=2 \\
+
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
-
2xy=-\frac{3}{2} \\
+
||
-
\end{array} \right.</math>
+
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
||<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{5}{2}</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
|align="right"|<math>2x^2</math>
 +
||
 +
||
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> .
 +
|}
 +
und das ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
 +
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{5}{2}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>-\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>\bigl(x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2\rlap{\bigr)}</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
||
 +
||
 +
|align="right"|<math>2y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{1}{2}</math> .
 +
|}
-
We would very well be able to solve this system, but there is a further relation that we can obtain which will simplify the calculations. If we go back to the relation
+
Also ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. Das ergibt vier mögliche Lösungen.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{1}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{1}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{1}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{1}{2}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left( x+iy \right)^{2}=2-\frac{3}{2}i</math>
+
Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{1}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad\text{und}\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{1}{2}\,.
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
and take the modulus of both sides, we obtain
+
Daher erhalten wir die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}</math>}}
-
<math>x^{2}+y^{2}=\sqrt{2^{2}+\left( -\frac{3}{2} \right)^{2}}</math>
+
oder in <math>z</math>
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
We add this relation to our two other equations:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x^{2}-y^{2}=2 \\
+
-
2xy=-\frac{3}{2} \\
+
-
x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Now, add the first and third equations
+
-
 
+
-
EQU1
+
-
 
+
-
which gives that
+
-
<math>y=\pm \frac{3}{2}</math>. Then, subtracting the first equation from the third,
+
-
 
+
-
EQU2
+
-
 
+
-
 
+
-
we get
+
-
<math>y=\pm \frac{1}{2}</math>. This gives potentially four solutions to the equation system,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{3}{2} \\
+
-
y=\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{3}{2} \\
+
-
y=-\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{3}{2} \\
+
-
y=\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{3}{2} \\
+
-
y=-\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
but only two of these satisfy the second equation
+
-
<math>2xy=-\frac{3}{2}</math>, namely
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{3}{2} \\
+
-
y=-\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \quad \text{and}\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{3}{2} \\
+
-
y=\frac{1}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Hence, we have that the solutions are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>w=\frac{3-i}{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>w=\frac{-3+i}{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
or, expressed in
+
-
<math>z</math>,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=2+i</math>
+
-
and
+
-
<math>z=-1+2i</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Because the calculation has been rather long, there is the risk that we have calculated incorrectly somewhere and we therefore check that the solutions satisfy the equation in the exercise:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& z=2+i:\quad z^{2}-\left( 1+3i \right)z-4+3i=\left( 2+i \right)^{2}-\left( 1+3i \right)\left( 2+i \right)-4+3i \\
+
-
& =4+4i+i^{2}-\left( 2+i+6i+3i^{2} \right)-4+3i \\
+
-
& =4+4i-1-2-7i+3-4+3i=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}
 +
Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& z=-1+2i:\quad z^{2}-\left( 1+3i \right)z-4+3i=\left( -1+2i \right)^{2}-\left( 1+3i \right)\left( -1+2i \right)-4+3i \\
+
z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i
-
& =\left( -1 \right)^{2}-4i+4i^{2}-\left( -1+2i-3i+6i^{2} \right)-4+3i \\
+
&= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt]
-
& =1-4i-4+1+i+6-4+3i=0 \\
+
&= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt]
 +
&= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt]
 +
&= 0\,,\\[10pt]
 +
z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i
 +
&= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt]
 +
&= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt]
 +
&= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt]
 +
&= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,. \end{align}

Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+3i}{2}, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir \displaystyle w=x+iy sein und versuchen \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.

Substituieren wir \displaystyle w=x+iy, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i

und wir erweitern die linke Seite

\displaystyle x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2-y^2 &= 2\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich

\displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i.

Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2},

also

\displaystyle x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}

Jetzt haben wir drei Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 2
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{9}{2} .

und das ergibt \displaystyle x=\pm\tfrac{3}{2}. Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 2\rlap{\bigr)}
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{1}{2} .

Also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Das ergibt vier mögliche Lösungen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right.

Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2}\,. \end{align}\right.

Daher erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad und \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2}

oder in \displaystyle z

\displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.}

Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben

\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:5c“