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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen==
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1. Moegliche Loesungsmengen
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Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
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<math>g: y= \frac{1}{2}x=2</math>
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<math>h: y= -3x+7</math>
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Standartform fuer Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
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<math>g: \frac{1}{2}x-y=-2</math>(*)
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<math>h: 3x+y=7</math>(*)
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-Loesimhspaar muss beide Gleichunge erfuellen.
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-Betrachte die Loesungsmehe von (*)
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L={(x,y) |(x,y) erfuellt beide Gleichungen aus (*)}
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Die Moeglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)
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Bild
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eine Loesung
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keine Loesung
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<math> L=\not \circ </math>
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unendlich viele Loesungen
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Loesungsverfahren fuer LGS
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Neben den Umformungen fuer lineare Gleichungen:
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Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl
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Umstellen einer Gleichung
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Ersetzen einer Gleichung durch die Summe von zwei Gleichungen aus LGS.
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Beispiel:
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<math>
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\begin{array}
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(1) & -\frac{1}{2}x & + & y & = & 2 & | \cdot (-1) \\
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(2) & 3x & + & y & = & 7 \\
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& \\
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\rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 & \downarrow + \\
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& 3x & + & y & = & 7 & \\
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\rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 \\
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& \frac{7}{2}x & & & = & 5 &| : \left(\frac{7}{2}\right) \\
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& \\
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& & & x & = & \frac{10}{7}\\
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\end{array}
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Einsetzen in (1)
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<math>\frac{1}{2} \cdot \frac{10}{7} - y= -2</math>
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<math>\Leftrightarrow \frac{5}{7} + 2= y</math>
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<math>\Leftrightarrow \frac{19}{7}= y </math>
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<math> L={(\frac{10}{7}, \frac{19}{7})}</math>
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'''Groessere Gleichungssysteme: Systematisches Loesen (1. Fall)'''
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<math>
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\begin{array}
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(I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\
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(II) & 3x & - & y & + & z & = & 0 & | & (-3)\cdot (I) + (II) \\
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(III) & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & | & (I) + (III) \\
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\end{array}
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Elimination der ersten Variable ab der 2. Spalte
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<math>
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\begin{array}
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(I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\
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(II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\
 +
(III) & & + & 4y & + & z & = & 4 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\
 +
\end{array}
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</math>
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<math>
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\begin{array}
 +
(I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\
 +
(II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\
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(III) & & & & & 23z & = & -8 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\
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\end{array}
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</math>
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Obere Dreiecksform, Loesen durch Rueckwaertseinsetzen.
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(III) <math>z=-\frac{8}{23}</math>
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(II) <math> -7x-4\cdot \frac{8}{23}= -9</math>
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<math>-7y = - \frac{175}{23}</math>
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<math>y= \frac{25}{23}</math>
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(I) <math>x= -2y + z + 3</math>
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<math>= \frac{50}{23} - \frac{8}{23} +3 = \frac{11}{23}</math>
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<math> L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}</math>
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Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden uebersichtlicher.
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
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 +
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}</math>
 +
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}</math>
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Beispiel: Keine Loesung
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"Widerspruchszeile" entsteht bei Umformungen.
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<math>
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\begin{array}
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& x & + & y & & & = & 1 & \\
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& & & y & + & z & = & 1 & \\
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& x & + & 2y & + & z & = & 3 & \\
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\end{array}
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</math>
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix}</math>
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix}</math>
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
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Beim "Rueckeinsetzen"
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<math>x+y=1</math>
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<math>y+z=1</math>
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<math>0=1 \rightarrow</math> nie erfuellt
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<math>L= \not \circ</math>
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Beispiel: unendlich viele Loesungen : "Nullzeile" entsteht bei Umformungen
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<math>
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\begin{array}
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& x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\
 +
& & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\
 +
& & & -3x_2 & - & 12x_3 & = & -30 & \\
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\end{array}
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</math>
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix}</math>
 +
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}</math>
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 +
Gleichungen:
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<math>
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\begin{array}
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& & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\
 +
& x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\
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\end{array}
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Die Gleichungen sind unterbestimmt. Die Loesung ist hier nur in Abhaenigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.
 +
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z.B.
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<math>x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1</math> festgelegt, naemlich
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<math>x_2= 10 -4x_3</math>
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<math>x_1= 6 -2x_2-3x_3</math>
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<math> = 6 -2(10 -4x_3)-3x_3</math>
 +
<math>x_1= -14+ 5x_3</math>
 +
<math>L={(-14=5x_3, 10-4x_3, x_3)|x_3 \in R}</math>
 +
oder
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<math>L= {\begin{pmatrix} -14+ 5x_3 \\ 10 -4x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3 \in R}</math>

Version vom 15:50, 2. Okt. 2009

Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Inhaltsverzeichnis

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des \displaystyle R^3 

BESCHREIBUNG

C - (Standart-)Skalarprodukt im \displaystyle R^3 ("Punktprodukt")

Fuer \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} und \displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}:


\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>:= v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3=\vec{v} \cdot \vec{w}
\displaystyle <\vec{v},\vec{w}> \in R


(analog im \displaystyle R^2
\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2)

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Verknuefung von Winkel und Laenge ueber

\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}

Begruendung: Betrachte die Vektoren \displaystyle \vec{v},\vec{w} 

BILD

\displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix} \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2} \displaystyle \cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} <bar>Dann ist \displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}

Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man die Vektoren so drehen kann, dass \displaystyle \vec{w} parallel zur x-Achse ist und \displaystyle \vec{v} in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

Folgerungen

Fuer \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \ne 0 ist \displaystyle <\vec{v}, \vec{w}>=0 \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0\displaystyle \Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w} "\displaystyle \vec{v} orthogonal zu \displaystyle \vec{w}"

Fuer \displaystyle \vec{v}= \vec{w} ist \displaystyle <\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2 also \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} (vgl. \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2} in \displaystyle R^2, Pytagoras 3D)

Skalarprodukt: - bei gleicher Groesse Laenge - Winkelgroessen - Wissen wann Winkel senkrecht

Beispiel \displaystyle \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{||\vec{v}|| ||\vec{w}||} \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \displaystyle \cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669 \displaystyle \Rightarrow Winkel zwischen a,b : \displaystyle \angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}

Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Im \displaystyle R^3 definiere \displaystyle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}.

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

  1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
  2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w} \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
  3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
  4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
  5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w}

Bemerkungen und Beweise

zu 1.

\displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0

\displaystyle <\vec{u}, \vec{w}> ebenso

zu 2.

\displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w} \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}} ist der Flaecheninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}} 

BILD

zu 3. sparen


zu 4. aus (2) oder Def

zu 5. Def. 

Bild


Beispiel fuer Kreuzprodukt 

BILD

Ladung q mit Geschw. \displaystyle \vec{v} in Feld \displaystyle \vec{B} \displaystyle \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}


Spatprodukt

Fuer \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 setze

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}>. Ergebnis: Skalar \displaystyle ||\vec{} \times \vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \displaystyle ||\vec{} || ||\vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \sin{\vec{a} , \vec{b}} \displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats. 

Bild

Funktionen

bisher: \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) \displaystyle Wertebereich \rightarrow Bildbereich ("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...") ("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

nuetzlich: groessere Werte-/Bildbereiche.

Beispiele Raumkurven (als Funktion der Zeit)

  1. Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit \displaystyle f: R \rightarrow R^3 \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} (Koordinaten des UFOs zur Zeit t. (z.B. gerade!)
  2. Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit: \displaystyle f: R \rightarrow R^2 \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix} w: Frequenz der Drehung BILD Drehscheibe MP:(0,0)
  3. Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt \displaystyle f: R^2 \rightarrow R (genauer \displaystyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}), f(x,y)= Wolkendichte in % "Skalarwertig"
  4. wie oben: Sattellitenfilm, In jedem Punkt: Wolkengeschw. f: \displaystyle R^2 \rightarrow R^2 f(x,y)= \displaystyle \begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix} "Vektorwertig"


3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Moegliche Loesungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden

\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2 \displaystyle h: y= -3x+7 Standartform fuer Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts \displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*) \displaystyle h: 3x+y=7(*)

-Loesimhspaar muss beide Gleichunge erfuellen. -Betrachte die Loesungsmehe von (*) L={(x,y) |(x,y) erfuellt beide Gleichungen aus (*)} Die Moeglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen) 

Bild

eine Loesung 

Bild

keine Loesung \displaystyle L=\not \circ 

Bild

unendlich viele Loesungen


Loesungsverfahren fuer LGS Neben den Umformungen fuer lineare Gleichungen:

  1. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl
  2. Umstellen einer Gleichung
  3. Ersetzen einer Gleichung durch die Summe von zwei Gleichungen aus LGS.

Beispiel:
\displaystyle \begin{array} (1) & -\frac{1}{2}x & + & y & = & 2 & | \cdot (-1) \\ (2) & 3x & + & y & = & 7 \\ & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 & \downarrow + \\ & 3x & + & y & = & 7 & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 \\ & \frac{7}{2}x & & & = & 5 &| : \left(\frac{7}{2}\right) \\ & \\ & & & x & = & \frac{10}{7}\\ \end{array}


Einsetzen in (1) \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{7} - y= -2 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{7} + 2= y \displaystyle \Leftrightarrow \frac{19}{7}= y

\displaystyle L={(\frac{10}{7}, \frac{19}{7})}

Groessere Gleichungssysteme: Systematisches Loesen (1. Fall) \displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & 3x & - & y & + & z & = & 0 & | & (-3)\cdot (I) + (II) \\ (III) & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & | & (I) + (III) \\ \end{array} Elimination der ersten Variable ab der 2. Spalte \displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & + & 4y & + & z & = & 4 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & & & & 23z & = & -8 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

Obere Dreiecksform, Loesen durch Rueckwaertseinsetzen.

(III) \displaystyle z=-\frac{8}{23} (II) \displaystyle -7x-4\cdot \frac{8}{23}= -9 \displaystyle -7y = - \frac{175}{23} \displaystyle y= \frac{25}{23} (I) \displaystyle x= -2y + z + 3 \displaystyle = \frac{50}{23} - \frac{8}{23} +3 = \frac{11}{23}

\displaystyle L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden uebersichtlicher.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}


Beispiel: Keine Loesung

"Widerspruchszeile" entsteht bei Umformungen.

\displaystyle \begin{array} & x & + & y & & & = & 1 & \\ & & & y & + & z & = & 1 & \\ & x & + & 2y & + & z & = & 3 & \\ \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

Beim "Rueckeinsetzen" \displaystyle x+y=1 \displaystyle y+z=1 \displaystyle 0=1 \rightarrow nie erfuellt \displaystyle L= \not \circ

Beispiel: unendlich viele Loesungen : "Nullzeile" entsteht bei Umformungen

\displaystyle \begin{array} & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & & & -3x_2 & - & 12x_3 & = & -30 & \\ \end{array} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}

Gleichungen: \displaystyle \begin{array} & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ \end{array}

Die Gleichungen sind unterbestimmt. Die Loesung ist hier nur in Abhaenigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.

z.B. x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1 festgelegt, naemlich \displaystyle x_2= 10 -4x_3 \displaystyle x_1= 6 -2x_2-3x_3 \displaystyle = 6 -2(10 -4x_3)-3x_3 \displaystyle x_1= -14+ 5x_3 \displaystyle L={(-14=5x_3, 10-4x_3, x_3)|x_3 \in R} oder \displaystyle L= {\begin{pmatrix} -14+ 5x_3 \\ 10 -4x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3 \in R}

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