Lösung 1.3:3a

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-
We need to investigate three types of points in order to determine the function's local extreme points,
+
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-
1. Critical points, i.e. where
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
+
# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
 +
# Randstellen.
 +
 +
Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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2. Points where the function is not differentiable;
+
Die stationären Stellen erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.
-
3. Endpoints of the interval of definition.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
f^{\,\prime}(x)
 +
&= -4x^3 + 8\cdot 3x^2 - 18\cdot 2x\\[5pt]
 +
&= -4x^3 + 24x^2 - 36x\\[5pt]
 +
&= -4x(x^2 - 6x + 9)
 +
\end{align}</math>}}
-
but we can ignore 2. and 3., because the function is a polynomial and is therefore defined and differentiable everywhere.
 
-
The critical points are given by the points where the derivative,
+
Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung
-
& {f}'\left( x \right)=-4x^{3}+8\centerdot 3x^{2}-18\centerdot 2x \\
+
-
& =-4x^{3}+24x^{2}-36x \\
+
-
& =-4x\left( x^{2}-6x+9 \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
-
is equal to zero.
+
und erhalten
-
From the factorized from of the derivative, we see that the derivative is zero when either the first factor,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0\,.</math>}}
-
<math>x</math>, is zero, or when the other factor is zero:
+
 +
Diese Gleichung hat die Lösung <math>x=3</math>.
-
<math>x^{2}-6x+9=0</math>
+
Also hat die Ableitung die Nullstellen <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
 +
Da die Ableitung
-
We solve this second-degree equation by completing the square on the left-hand side,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2</math>}}
 +
ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren <math>-4x</math> und
 +
<math>(x-3)^{2}</math>.
-
<math>\left( x-3 \right)^{2}-3^{2}+9=0</math>
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>3</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>-4x</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>(x-3)^2</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|}
 +
Mit den Rechenregeln <math>{+}\cdot {+}={+}</math>, <math>{-}\cdot {+} = {-}</math> und <math>{-}\cdot {-}={+}</math> für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:
-
which are, after simplifying
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>3</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-27</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|}
-
 
+
Hier sehen wir, dass es an der Stelle <math>x=0</math> ein lokales Maximum gibt, und dass die Funktion an der Stelle <math>x=3</math> einen Sattelpunkt hat (und daher keinen Extrempunkt).
-
<math>\left( x-3 \right)^{2}=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and this equation has the root
+
-
<math>x=3</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
Therefore, the function has two critical points,
+
-
<math>x=0\text{ }</math>
+
-
and
+
-
<math>x=3</math>.
+
-
 
+
-
The next step is to write down an outline of the derivative's sign changes, from which we then can see the possible local extreme points.
+
-
 
+
-
Because the derivative can be written as
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>{f}'\left( x \right)=-4x\left( x-3 \right)^{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
we start by writing down the sign changes for the factors
+
-
<math>-4x</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( x-3 \right)^{2}</math>.
+
-
 
+
-
TABLE
+
-
 
+
-
The derivative, which is the product of these factors, has the sign changes given below, which are a consequence of the calculating rules for signs:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>+\centerdot +=+,\quad -\centerdot +=-,\quad \text{and}\quad -\centerdot -=+</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
TABLE
+
-
 
+
-
From this, we see that
+
-
<math>x=0\text{ }</math>
+
-
is a local maximum, whilst
+
-
<math>x=3</math>
+
-
is an inflexion point (and therefore not an extreme point).
+

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
  3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Stellen erhalten wir mit den Nullstellen der Ableitung.

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= -4x^3 + 8\cdot 3x^2 - 18\cdot 2x\\[5pt] &= -4x^3 + 24x^2 - 36x\\[5pt] &= -4x(x^2 - 6x + 9) \end{align}


Im letzten Schritt sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

\displaystyle x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0

und erhalten

\displaystyle (x-3)^2 = 0\,.

Diese Gleichung hat die Lösung \displaystyle x=3.

Also hat die Ableitung die Nullstellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=3.

Da die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren \displaystyle -4x und \displaystyle (x-3)^{2}.

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle 3
\displaystyle -4x \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle -
\displaystyle (x-3)^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle +

Mit den Rechenregeln \displaystyle {+}\cdot {+}={+}, \displaystyle {-}\cdot {+} = {-} und \displaystyle {-}\cdot {-}={+} für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -27 \displaystyle \searrow

Hier sehen wir, dass es an der Stelle \displaystyle x=0 ein lokales Maximum gibt, und dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=3 einen Sattelpunkt hat (und daher keinen Extrempunkt).

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