Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
If we call the radius of the metal can
+
Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
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<math>r</math>
+
-
and its height
+
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<math>h</math>, then we can determine the can's volume and area by using the figures below.
+
-
 
+
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Volume = (area of the base). (height)
+
-
 
+
-
<math>=\pi r^{2}h</math>
+
-
 
+
-
Area= (area of the base)+(area of the cylindrical surface)
+
-
 
+
-
<math>=\pi r^{2}+2\pi h</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
 +
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
 +
\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
 +
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
 +
Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
-
The problem can then be formulated as: minimise the can's area,
+
Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
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<math>A=\pi r^{2}+2\pi h</math>, whilst at the same time keeping the volume,
+
-
<math>V=\pi r^{2}h</math>, constant.
+
-
 
+
-
From the formula for the volume, we can make
+
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<math>h</math>
+
-
the subject,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>h=\frac{V}{\pi r^{2}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and express the area solely in terms of the radius,
+
-
<math>r</math>:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>A=\pi r^{2}+2\pi r\bullet \frac{V}{\pi r^{2}}=\pi r^{2}+\frac{2V}{r}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The minimisation problem is then:
+
-
 
+
-
to minimise the area
+
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<math>A\left( r \right)=\pi r^{2}+\frac{2V}{r}</math>
+
-
A(r)=..., when
+
-
<math>r>0</math>.
+
-
 
+
-
The area function
+
-
<math>A\left( r \right)</math>
+
-
is differentiable for all
+
-
<math>r>0</math>
+
-
and the region of definition
+
-
<math>r>0</math>
+
-
has no endpoints
+
-
(
+
-
<math>r=0\text{ }</math>
+
-
does not satisfy
+
-
<math>r>0</math>
+
-
), so the function can only assume extreme values at critical points.
+
-
The derivative is given by
+
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
 +
und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
-
<math>{A}'\left( r \right)=2\pi r-\frac{2V}{r^{2}}</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
-
and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get
+
Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
-
<math>\begin{align}
+
Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
-
& 2\pi r-\frac{2V}{r^{2}}=0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r=\frac{2V}{r^{2}} \\
+
-
& \Leftrightarrow \quad r^{3}=\frac{V}{\pi }\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi }} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Die Ableitung ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
-
For this value of
+
Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
-
<math>r</math>, the second derivative,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]
 +
&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>{A}''\left( r \right)=2\pi +\frac{4V}{r^{3}}</math>,
+
Die zweite Ableitung ist
-
has the value
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
-
<math>{A}''\left( \sqrt[3]{\frac{V}{\pi }} \right)=2\pi +\frac{4V}{\frac{V}{\pi }}=6\pi >0</math>,
+
und hat den Wert
-
which shows that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>
+
-
is a local minimum.
+
-
Because the region of definition,
+
an der stationären Stelle.
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<math>r>0</math>, is open (the endpoint
+
-
<math>r=0\text{ }</math>
+
-
is not included) and unlimited, we cannot directly say that the area is least when
+
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>; it could be the case that area becomes smaller when
+
-
<math>r\to 0</math>
+
-
or
+
-
<math>r\to \infty </math>. In this case, however, the area increases without bound as
+
-
<math>r\to 0</math>
+
-
or
+
-
<math>r\to \infty </math>, so
+
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>
+
-
really is a global minimum.
+
-
The metal can has the least area for a given volume
+
Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
-
<math>V</math>
+
-
when
+
 +
Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
-
<math>r=\sqrt[3]{{V}/{\pi }\;}</math>, and
+
Also ist die Fläche minimal, wenn
-
<math>h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{V}{\pi }\left( \frac{V}{\pi } \right)^{-{2}/{3}\;}=\left( \frac{V}{\pi } \right)^{1-{2}/{3}\;}=\left( \frac{V}{\pi } \right)^{{1}/{3}\;}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi }}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
 +
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

\displaystyle \begin{align}

\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt] \text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt] &= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.} \end{align}

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche \displaystyle A = \pi r^2 + 2\pi h, während das Volumen \displaystyle V = \pi r^2h\, konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

\displaystyle h=\frac{V}{\pi r^2}

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

\displaystyle A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche \displaystyle A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}, wenn \displaystyle r>0\,.

Die Funktion \displaystyle A(r) ist für alle \displaystyle r>0 differenzierbar und der Bereich \displaystyle r>0 hat keine Endpunkte (da \displaystyle r=0 nicht \displaystyle r>0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

\displaystyle A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

\displaystyle \begin{align}

& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align}

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,

und hat den Wert

\displaystyle A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,

an der stationären Stelle.

Also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn \displaystyle r\to 0 oder wenn \displaystyle r\to \infty . Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen \displaystyle r\to 0 und \displaystyle r\to \infty , also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

\displaystyle \begin{align}

r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt] h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align}

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