Lösung 3.2:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Geometrically, the multiplication of two complex numbers means that there magnitudes are multiplied and their arguments are added. The product
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Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> die Summe der Argumente von <math>\sqrt{3}+i</math> und <math>1-i</math>,
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<math>\left( \sqrt{3}+i \right)\left( 1-i \right)</math>
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therefore has an argument which is the sum of the argument for the
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<math>\sqrt{3}+i</math>
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and
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<math>1-i</math>, i.e.
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+
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<math>\arg \left( \left( \sqrt{3}+i \right)\left( 1-i \right) \right)=\arg \left( \sqrt{3}+i \right)+\arg \left( 1-i \right)</math>
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By drawing the factors in the complex plane, we can determine relatively easily the argument using simple trigonometry:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
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Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.
[[Image:3_2_5_c.gif|center]]
[[Image:3_2_5_c.gif|center]]
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(Da <math>1-i</math> im vierten Quadrant liegt, ist das Argument
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<math>-\beta</math> und nicht <math>\beta</math>.)
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(Because
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Daher erhalten wir,
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<math>1-i</math>
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lies in the fourth quadrant, the argument equals
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<math>-\beta </math>
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and not
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<math>\beta </math>.)
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Hence,
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<math>\begin{align}
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& \arg \left( \left( \sqrt{3}+i \right)\left( 1-i \right) \right)=\arg \left( \sqrt{3}+i \right)+\arg \left( 1-i \right) \\
+
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& =\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{12} \\
+
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\end{align}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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NOTE: if you prefer to give the argument between
 
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<math>0</math>
 
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and
 
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<math>2\pi </math>, then the answer is
 
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Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> schreiben, ist die Antwort
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<math>-\frac{\pi }{12}+2\pi =\frac{-\pi +24\pi }{12}=\frac{23\pi }{12}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von \displaystyle (\sqrt{3}+i)(1-i) die Summe der Argumente von \displaystyle \sqrt{3}+i und \displaystyle 1-i,

\displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}

Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.

(Da \displaystyle 1-i im vierten Quadrant liegt, ist das Argument \displaystyle -\beta und nicht \displaystyle \beta.)

Daher erhalten wir,

\displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}


Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi schreiben, ist die Antwort

\displaystyle -\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}
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