Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert | + | Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert. |
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| - | + | Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels. | |
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| - | Mit diesen | + | Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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| - | Wir müssen jetzt den Radius | + | Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. |
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments | ||
| - | <math>(2\pi-\alpha)R</math> | + | <math>(2\pi-\alpha)R</math>, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. |
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Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels | Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels | ||
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| - | Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras | + | Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras. |
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Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von | Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von | ||
| - | <math>\alpha</math> und <math>R</math> | + | <math>\alpha</math> und <math>R</math> geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also |
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel | Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel | ||
<math>\alpha</math> nur in | <math>\alpha</math> nur in | ||
| - | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt | + | <math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren. |
| - | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ | + | ::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>. |
| - | Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null | + | Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an. |
| - | Wir leiten die Funktion ab | + | Wir leiten die Funktion ab |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,</math>}} |
| - | und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen | + | und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] | V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] | ||
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] | &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] | ||
| - | &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{ | + | &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ein | + | Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Die Stelle <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.) |
| - | Durch | + | Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren |
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" | ||
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| - | und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst | + | und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst. |
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| - | Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum | + | Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum hat. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}} | ||
Aktuelle Version
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.
Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.
Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels
| \displaystyle \begin{align}
V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.} \end{align} |
Wir müssen jetzt den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h durch den Winkel \displaystyle \alpha ausdrücken, sodass wir das Volumen \displaystyle V als Funktion von \displaystyle \alpha schreiben können.
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel \displaystyle \alpha aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments \displaystyle (2\pi-\alpha)R, wobei \displaystyle R der ursprüngliche Radius ist.
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch \displaystyle 2\pi r, also haben wir
| \displaystyle 2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir den neuen Radius \displaystyle r als Funktion des Winkels \displaystyle \alpha und des ursprünglichen Radius \displaystyle R ausgedrückt.
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt] &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt] &= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt haben wir den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h als Funktionen von \displaystyle \alpha und \displaystyle R geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also
| \displaystyle \begin{align}
V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align} |
Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere \displaystyle V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,, wo \displaystyle 0\le \alpha \le 2\pi\,.
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha nur in \displaystyle (2\pi-\alpha)/2\pi-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable \displaystyle x=(2\pi-\alpha)/2\pi maximieren.
- Maximiere \displaystyle V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ , für \displaystyle 0\le x\le 1\,.
Wenn \displaystyle x=0 oder \displaystyle x=1 ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in \displaystyle x=1) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.
Wir leiten die Funktion ab
| \displaystyle V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\, |
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.
| \displaystyle \begin{align}
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{} \end{align} |
Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x=0 (dies ist ein Randpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0 ist, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Die Stelle \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)
Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle \sqrt{1-x^2} | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
| \displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
| \displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum hat. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht dem Winkel \displaystyle \alpha:
| \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ |
