Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Das Verfahren wird hier deutlich illustriert:
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Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.
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Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, definieren wir die Maße des Kegels.
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Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.
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Mit diesen Maßen wird der Volumen des Kegels,
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Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
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Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> schreiben, sodass wir den Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
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Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
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Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> von den Kreis weg, wird der Radius des über gebliebenen Kreises
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Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
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<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wo <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
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<math>(2\pi-\alpha)R</math>, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
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Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
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<math>2\pi r</math>, und also haben wir
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<math>2\pi r</math>, also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt haben wir also den neuen Radius <math>r</math> als Funktion von den Winkel
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Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
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<math>\alpha</math> und den ursprünglichen Radius <math>R</math> geschrieben.
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<math>\alpha</math> und des ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.
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Um die Höhe zu beschreiben, benutzen wir das Gesetz des Pythagoras
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Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.
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Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
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<math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel
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Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
<math>\alpha</math> nur in
<math>\alpha</math> nur in
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<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren, um das Problem zu vereinfachen,
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<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
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::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.
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::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math>, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in <math>x=1</math> ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.
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Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.
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Wir leiten die Funktion ab,
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Wir leiten die Funktion ab
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{{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,</math>}}
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und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
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und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]
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&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{.}
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&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math>, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
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Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Die Stelle <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
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Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
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Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
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und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
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Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maxima ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>:
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Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum hat. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}

Aktuelle Version

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.

Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.

Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels

\displaystyle \begin{align}

V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.} \end{align}

Wir müssen jetzt den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h durch den Winkel \displaystyle \alpha ausdrücken, sodass wir das Volumen \displaystyle V als Funktion von \displaystyle \alpha schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel \displaystyle \alpha aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments \displaystyle (2\pi-\alpha)R, wobei \displaystyle R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch \displaystyle 2\pi r, also haben wir

\displaystyle 2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}

Jetzt haben wir den neuen Radius \displaystyle r als Funktion des Winkels \displaystyle \alpha und des ursprünglichen Radius \displaystyle R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt] &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt] &= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt haben wir den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h als Funktionen von \displaystyle \alpha und \displaystyle R geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

\displaystyle \begin{align}

V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align}

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere \displaystyle V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,, wo \displaystyle 0\le \alpha \le 2\pi\,.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha nur in \displaystyle (2\pi-\alpha)/2\pi-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable \displaystyle x=(2\pi-\alpha)/2\pi maximieren.

Maximiere \displaystyle V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ , für \displaystyle 0\le x\le 1\,.

Wenn \displaystyle x=0 oder \displaystyle x=1 ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in \displaystyle x=1) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.

Wir leiten die Funktion ab

\displaystyle V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.

\displaystyle \begin{align}

V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{} \end{align}

Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x=0 (dies ist ein Randpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0 ist, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Die Stelle \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)

Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} \displaystyle 1
\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle \sqrt{1-x^2} \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0
\displaystyle 2-3x^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle -


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.


\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} \displaystyle 1
\displaystyle V'(x) \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -  
\displaystyle V(x) \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 \displaystyle \searrow \displaystyle 0

Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum hat. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht dem Winkel \displaystyle \alpha:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\
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