Lösung 1.3:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (18:10, 9. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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-
The whole procedure can be illustrated by the figure below:
+
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.
-
[[Image:1_3_7_1_1.gif|center]]
+
[[Image:1_3_7_1_1_de.gif|center]]
-
 
+
Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.
-
Because it is the cornet's volume we want to maximise, it is appropriate to start by introducing some notation for the dimensions of the cornet.
+
 +
[[Image:1_3_7_1_2_de.gif|center]]
 +
Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
[[Image:1_3_7_1_2.gif|center]]
+
Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.
 +
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
 +
<math>(2\pi-\alpha)R</math>, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.
-
<math>r=\text{ }</math>
+
[[Image:1_3_7_1_3_de.gif|center]]
-
the cone's radius
+
-
<math>h=\text{ }</math>
+
-
the cone's height
+
-
With these dimensions, the volume of the cornet will be the same as that of a cone:
+
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
 +
<math>2\pi r</math>, also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
-
& V=\frac{1}{3}\text{(area of upper circle)}\bullet \text{(height)} \\
+
<math>\alpha</math> und des ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.
-
& =\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.
-
To go further, we now need to express the radius
+
[[Image:1_3_7_1_4.gif||center]]
-
<math>r</math>
+
-
and the height
+
-
<math>h</math>
+
-
in terms of the angle
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
on the removed circular sector, so that we can the maximum of the volume
+
-
<math>V</math>
+
-
when
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
varies.
+
-
When we cut out a circular sector of angle
+
Also haben wir
-
<math>\alpha </math>
+
-
from a circular disk, the remaining part of the circular disc's periphery will have length
+
-
<math>\left( 2\pi -\alpha \right)R</math>, where
+
-
<math>R</math>
+
-
is the radius of the circular disc. This periphery will then become the cornet's upper circular edge, which therefore has the same circumference.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
[[Image:1_3_7_1_3.gif|center]]
+
-
 
+
-
On the other hand, the cornet's upper circular edge has a circumference
+
-
<math>2\pi r</math>, so we must therefore have the relation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>2\pi r=\left( 2\pi -\alpha \right)R\quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
We have thus managed to express the radius
+
-
<math>r</math>
+
-
in terms of the angle
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
(and the radius
+
-
<math>R</math>
+
-
of the original circle).
+
-
 
+
-
In order to obtain the height
+
-
<math>h</math>, we can use the fact that we know that the distance from the cornet's tip to its upper edge is equal to the radius
+
-
<math>R</math>
+
-
of the original circle. Pythagoras' theorem now gives:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt]
 +
&= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt]
 +
&= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
 +
<math>\alpha</math> und <math>R</math> geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& R^{2}=r^{2}+h^{2} \\
+
V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt]
-
& \Leftrightarrow \quad h=\sqrt{R^{2}-r^{2}} \\
+
&= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Unser Problem ist jetzt:
 +
::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.
-
[[Image:1_3_7_1_4.gif|center]]
+
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
-
 
+
<math>\alpha</math> nur in
-
This means that
+
<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& h=\sqrt{R^{2}-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R \right)^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}R^{2}} \\
+
-
& =R\sqrt{1-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Hence, we have expressed
+
-
<math>r</math>
+
-
and
+
-
<math>h</math>
+
-
in terms of the angle
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
and the radius
+
-
<math>R</math>, and we get that the volume of the cornet is given by
+
-
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R \right)^{2}R\sqrt{1-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}} \\
+
-
& =\frac{1}{3}\pi R^{3}\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}\sqrt{1-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
At last, we can mathematically formulate the problem:
+
-
 
+
-
Maximise
+
-
<math>V\left( \alpha \right)=\frac{1}{3}\pi R^{3}\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}\sqrt{1-\left( \frac{2\pi -\alpha }{2\pi } \right)^{2}}</math>
+
-
where
+
-
<math>0\le \alpha \le 2\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Before we start to try and solve this problem, we can observe that the variable
+
-
<math>\alpha </math>
+
-
occurs in the volume function only in the combination
+
-
<math>\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }</math>, so that we may as well choose to maximise the volume with respect to the variable
+
-
<math>x=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }</math>
+
-
to obtain, as far as the formula is concerned, the somewhat easier problem:
+
-
Maximise
+
::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.
-
<math>V\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi R^{3}x^{2}\sqrt{1-x^{2}}</math>
+
-
when
+
-
<math>0\le x\le 1</math>.
+
-
 
+
-
When either
+
-
<math>x=0\text{ }</math>
+
-
or
+
-
<math>x=1</math>, the volume is zero and since the volume function is a differentiable function of
+
-
<math>x</math>
+
-
(apart from at
+
-
<math>x=1</math>
+
-
), the volume must be a maximum at a critical point of the function.
+
-
 
+
-
We differentiate
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.
-
& {V}'\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi R^{3}\bullet 2x\bullet \sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{3}\pi R^{3}x^{3}\bullet \frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\bullet \left( -2x \right) \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir leiten die Funktion ab
-
and begin simplifying this expression. The strategy is to try to take out as many factors as possible, so that we see more easily when some factor, and hence the derivative, becomes zero:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,</math>}}
 +
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& {V}'\left( x \right)=\frac{2}{3}\pi R^{3}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{3}\pi R^{3}x^{3}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\
+
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]
-
& =\frac{1}{3}\pi R^{3}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\left[ 2\left( 1-x^{2} \right)-x^{2} \right] \\
+
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]
-
& =\frac{1}{3}\pi R^{3}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\left( 2-3x^{2} \right) \\
+
&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
 +
Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Die Stelle <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)
-
The derivative is zero when
+
Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
-
<math>x=0</math>
+
-
(which is an endpoint) or when
+
-
<math>2-3x^{2}=0</math>, i.e.
+
-
<math>x=\sqrt{{2}/{3}\;}</math>
+
-
(
+
-
<math>x=-\sqrt{{2}/{3}\;}</math>
+
-
lies outside
+
-
<math>0\le x\le 1</math>
+
-
).
+
-
With the help of a table of the sign of the factors' derivative's
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>
 +
|style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>\sqrt{1-x^2}</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>2-3x^2</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|}
-
TABLE
 
-
we can write down a table of the sign of the derivative itself,
+
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.
-
TABLE
 
-
and see that
+
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
<math>x=\sqrt{{2}/{3}\;}</math>
+
|-
-
is a global maximum.
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
-
The value
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
-
<math>x=\sqrt{{2}/{3}\;}</math>
+
|style="background:#efefef;"|
-
corresponds to the
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\sqrt{\tfrac{2}{3}}</math>
-
<math>\alpha </math>
+
|style="background:#efefef;"|
-
-value
+
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>V'(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| &nbsp;
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>V(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|}
 +
Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum hat. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:
-
<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =2\pi \left( 1-\sqrt{{2}/{3}\;} \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}
-
radians
+

Aktuelle Version

Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.

Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.

Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels

\displaystyle \begin{align}

V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.} \end{align}

Wir müssen jetzt den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h durch den Winkel \displaystyle \alpha ausdrücken, sodass wir das Volumen \displaystyle V als Funktion von \displaystyle \alpha schreiben können.

Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel \displaystyle \alpha aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments \displaystyle (2\pi-\alpha)R, wobei \displaystyle R der ursprüngliche Radius ist.

Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch \displaystyle 2\pi r, also haben wir

\displaystyle 2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}

Jetzt haben wir den neuen Radius \displaystyle r als Funktion des Winkels \displaystyle \alpha und des ursprünglichen Radius \displaystyle R ausgedrückt.

Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.

Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt] &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt] &= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt haben wir den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h als Funktionen von \displaystyle \alpha und \displaystyle R geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

\displaystyle \begin{align}

V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align}

Unser Problem ist jetzt:

Maximiere \displaystyle V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,, wo \displaystyle 0\le \alpha \le 2\pi\,.

Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha nur in \displaystyle (2\pi-\alpha)/2\pi-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable \displaystyle x=(2\pi-\alpha)/2\pi maximieren.

Maximiere \displaystyle V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ , für \displaystyle 0\le x\le 1\,.

Wenn \displaystyle x=0 oder \displaystyle x=1 ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in \displaystyle x=1) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.

Wir leiten die Funktion ab

\displaystyle V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,

und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.

\displaystyle \begin{align}

V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{} \end{align}

Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x=0 (dies ist ein Randpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0 ist, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Die Stelle \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)

Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} \displaystyle 1
\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle \sqrt{1-x^2} \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0
\displaystyle 2-3x^2 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle -


und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.


\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} \displaystyle 1
\displaystyle V'(x) \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -  
\displaystyle V(x) \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 \displaystyle \searrow \displaystyle 0

Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maximum hat. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht dem Winkel \displaystyle \alpha:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:7“