Lösung 1.3:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | + | Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math> | |
| - | Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter | + | Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen. |
Die zweite Ableitung ist | Die zweite Ableitung ist | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}} | ||
| - | und ist immer positiv, | + | und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. |
Insbesondere gilt | Insbesondere gilt | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}} | ||
| - | also | + | also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum. |
Aktuelle Version
Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5 |
und wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle 3e^{-3x} = 5 |
für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
| \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.} |
Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
Die zweite Ableitung ist
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x} |
und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,, |
also hat die Funktion an der Stelle \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.
