Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Because the function is defined and differentiable for all ''x'', the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.	+	Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
-		+
-	For this function, the derivative is given by	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
-	and if we set it to zero, we will obtain	+	und wir erhalten die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
-	which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution	+	für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
	{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
-	The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
-	Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative.	+	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
-	The second derivative is equal to	+	Die zweite Ableitung ist
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
-	and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.	+	und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
-	In particular, this means that	+	Insbesondere gilt
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
-		+	also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.
-	which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.	+

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Aktuelle Version

Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

also hat die Funktion an der Stelle \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.