Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Because the function is defined and differentiable for all
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Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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<math>x</math>, the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.
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For this function, the derivative is given by
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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und wir erhalten die Gleichung
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<math>{f}'\left( x \right)=-3e^{-3x}+5</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
 +
für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
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and if we set it to zero, we will obtain
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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<math>3e^{-3x}=5</math>
+
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
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Die zweite Ableitung ist
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which is a first-degree equation in
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
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<math>e^{-3x}</math>
+
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and has the solution
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und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
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Insbesondere gilt
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
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The function therefore has a critical point
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also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.
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<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
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Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative
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The second derivative is equal to
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<math>{f}''\left( x \right)=-3\centerdot \left( -3 \right)e^{-3x}=9e^{-3x}</math>
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and is positive for all values of
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<math>x</math>, since the exponential function is always positive.
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In particular, this means that
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+
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<math>{f}''\left( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \right)>0</math>
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which means that
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<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
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is a local minimum.
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Aktuelle Version

Da die Funktion für alle x definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

also hat die Funktion an der Stelle \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.

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