Lösung 1.3:2a

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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# Randstellen.
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Wir untersuchen alle drei Fälle.
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
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ist null, wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
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<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.</li>
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Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist <math>x=1\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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|-
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Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle.
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Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2
    ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist \displaystyle x=1\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.

\displaystyle x \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 eine lokale Minimalstelle.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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