Lösung 1.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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In order to determine the function's extreme points, we investigate three types of points:
+
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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1. Critical points, i.e. where
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
+
# Singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-
 
+
# Randstellen.
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2. Points where the function is not differentiable;
+
-
 
+
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3. Endpoints of the interval of definition.
+
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In our case, we have that:
+
Wir untersuchen alle drei Fälle:
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1. The derivative of
+
<ol>
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<math>f\left( x \right)</math>
+
<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
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is given by
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3-2x</math>}}
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+
und wird null für <math>x=3/2\,</math>.</li>
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<math>{f}'\left( x \right)=3-2x</math>
+
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and becomes zero when
 
-
<math>x=\frac{3}{2}</math>.
 
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2. The function is a polynomial, and is therefore differentiable everywhere.
+
<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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3. The function is defined for all
+
<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Randstellen.</li>
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<math>x</math>, and there are therefore the interval of definition has no
+
</ol>
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endpoints.
+
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There is thus a point
+
Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen. Somit ist <math>x=3/2\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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<math>x=\frac{3}{2}</math>, where the function possibly has an extreme point.
+
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If we write down a sign table for the derivative, we see that
 
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<math>x=\frac{3}{2}</math>
 
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is a local maximum.
 
-
TABLE
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
 +
|-
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\tfrac{3}{2}</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\tfrac{17}{4}</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|}
-
Because the function is given by a second-degree expression, its graph is a parabola with a maximum at
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Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit dem Maximum <math> \frac{17}{4} </math> an der Stelle <math> x = \frac{3}{2} </math>.
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<math>\left( \frac{3}{2} \right.,\left. \frac{17}{4} \right)</math>
+
-
and we can draw it with the help of a few couple of points.
+
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PICTURE TABLE
+
[[Image:1_3_2_b.gif||center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x
    und wird null für \displaystyle x=3/2\,.


  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen. Somit ist \displaystyle x=3/2\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.


\displaystyle x \displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{17}{4} \displaystyle \searrow

Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle \frac{17}{4} an der Stelle \displaystyle x = \frac{3}{2} .

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