Lösung 1.1:3

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The ball hits the ground when its height is zero, i.e. when
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Der Ball ist auf dem Boden angelangt, wenn seine Höhe null ist, also wenn
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{{Abgesetzte Formel||<math>h(t) = 10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^{2} = 0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>h\left( t \right)=10-\frac{9.82}{2}t^{2}=0</math>
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Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen
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This second-degree equation has the solutions
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{{Abgesetzte Formel||<math>t=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,.</math>}}
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Die positive Lösung entspricht dem Zeitpunkt, zu dem der Ball auf dem Boden auftrifft.
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<math>t=\pm \sqrt{\frac{2\centerdot 10}{9.82}}</math>
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Die Geschwindigkeit des Balles entspricht der Ableitung der Funktion <math> h </math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>h'(t) = \frac{d}{dt}\,\Bigl(10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^2\Bigr) = -9\textrm{,}82t\,\textrm{.}</math>}}
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where the positive root is the time when the ball hits the ground.
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Und wir erhalten die Geschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf dem Boden, indem wir <math> h^\prime </math> an der Stelle <math> t = \sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}} </math> auswerten.
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We obtain the ball's speed as a function of time as the time derivative of the height,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
h^\prime\Bigl(\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,\Bigr)
 +
&= -9\textrm{,}82\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt]
 +
&= -\sqrt{9\textrm{,}82^2\cdot\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt]
 +
&= \sqrt{9\textrm{,}82\cdot 2\cdot 10}\\[5pt]
 +
&= -\sqrt{196\textrm{,}4}\\[5pt]
 +
&\approx -14\textrm{,}0\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
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+
Das Minuszeichen zeigt an, dass der Ball sich abwärts bewegt. Die Geschwindigkeit des Balles ist also 14,0 m/s.
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<math>v\left( t \right)={h}'\left( t \right)=\frac{d}{dx}\left( 10-\frac{9.82}{2}t^{2} \right)=-9.82t</math>
+
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+
-
 
+
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If we substitute the time when the ball hits the ground, we obtain the ball's speed at that instant,
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+
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+
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<math>\begin{align}
+
-
& v\left( \sqrt{\frac{2\centerdot 10}{9.82}} \right)=-9.82\centerdot \sqrt{\frac{2\centerdot 10}{9.82}}=-\sqrt{9.82^{2}\centerdot \frac{2\centerdot 10}{9.82}} \\
+
-
& =\sqrt{9.82\centerdot 2\centerdot 10}=-\sqrt{196.4}\approx -14.0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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The minus sign shows that the speed is directed downwards, and the ball's speed is therefore
+
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<math>\text{14}.0\text{ }</math>
+
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m/s.
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Aktuelle Version

Der Ball ist auf dem Boden angelangt, wenn seine Höhe null ist, also wenn

\displaystyle h(t) = 10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^{2} = 0\,\textrm{.}

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,.

Die positive Lösung entspricht dem Zeitpunkt, zu dem der Ball auf dem Boden auftrifft.

Die Geschwindigkeit des Balles entspricht der Ableitung der Funktion \displaystyle h

\displaystyle h'(t) = \frac{d}{dt}\,\Bigl(10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^2\Bigr) = -9\textrm{,}82t\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Geschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf dem Boden, indem wir \displaystyle h^\prime an der Stelle \displaystyle t = \sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}} auswerten.

\displaystyle \begin{align}

h^\prime\Bigl(\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,\Bigr) &= -9\textrm{,}82\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt] &= -\sqrt{9\textrm{,}82^2\cdot\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt] &= \sqrt{9\textrm{,}82\cdot 2\cdot 10}\\[5pt] &= -\sqrt{196\textrm{,}4}\\[5pt] &\approx -14\textrm{,}0\,\textrm{} \end{align}

Das Minuszeichen zeigt an, dass der Ball sich abwärts bewegt. Die Geschwindigkeit des Balles ist also 14,0 m/s.

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